高三上学期期末联考数学模拟试卷

高三上学期期末联考数学模拟试卷时间：90分钟，满分120分.班级_______________姓名______________________一、选择题1、教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在直线()A、平行B、垂直C、相交D、异面2、过点（2,1）的直线中，被04222yxyx截得的最长弦所在的直线方程是（）A、3x-y-5=0B、3x+y-7=0C、x+3y-5=0D、x-3y+1=03、已知是三角形的一个内角，且12sincos，则方程221xsinycos表示（）A、焦点在x轴上的椭圆B、焦点在y轴上的椭圆C、焦点在x轴上的双曲线D、焦点在y轴上的双曲线4、已知P是△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，则P在上的射影一定是△ABC的（）A、内心B、外心C、重心D、垂心5、设F1、F2是双曲线1422ayax的两个焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2=90°若△F1PF的面积为1，则a的值是（）A、1B、25C、2D、56、与圆C：2253xy相切且在x、y轴上截距相等的直线有()A、2条B、3条C、4条D、6条7、如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物。经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A、(27－2)a万元B、5a万元C、(27+1)a万元D、(23+3)a万元8、直线0axbyba与圆2220xyx的位置关系是()A、相交B、相离C、相切D、与a、b的取值有关9、设x、yR，集合221Ax,y|xy，23Bx,y|ytx，若AB为单元素集，则t值的个数是（）A、1B、2C、3D、410、双曲线的两个焦点为21FF、，以21FF为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为（）A、31B、324C、232D、232二、填空题11、若双曲线22294yxk与圆221xy有公共点，则实数k的取值范围为___________。12、已知正方体的棱长为1，则过A1C1且与BD1平行的截面面积为___________。13、直线l的方程为3xy，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线341222yx的焦点作为椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为________________________。14、正方形ABCD的两对角线AC与BD交于O，沿对角线BD折起，使∠AOC=90对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60角；④AB与平面BCD成60角，其中正确的结论是_____________________。三、解答题15、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？16、已知双曲线1C和椭圆2C：1244922yx有公共的焦点，它们的离心率分别是1e和2e，且21121ee，求双曲线1C的方程．17.如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹18、如图，在正三棱柱111CBAABC中，21AAAB，由顶点B沿棱柱侧面经过棱1AA到顶点1C的最短路线与AA1的交点记为M，求：（I）求证：平面MBC1平面11BBCC（II）平面MBC1与平面ABC所成二面角（锐角）的大小xyOABEFM19、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.DPBACE参考答案：BABBA，CBADA，11、]31,0()0,31[，12、46，13、14522yx，14、①2③15、（1）C52A54=1200（种）……4分（1）A55-1=119（种）……8分（2）不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C51×9=45第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：44)!51!41!31!21(!5∴满足条件的放法数为：A55-45-44=31（种）……12分16解：（1）设M（y20,y0），直线ME的斜率为k(l0)则直线MF的斜率为－k，方程为200().yykxy∴由2002()yykxyyx，消200(1)0xkyyyky得解得20021(1),FFkykyyxkk∴0022000022211214(1)(1)2EFEFEFkykyyykkkkkykykyxxykkk(定值)所以直线EF的斜率为定值（2）90,45,1,EMFMABk当时所以直线ME的方程为200()yykxy由2002yyxyyx得200((1),1)Eyy同理可得200((1),(1)).Fyy设重心G（x,y），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333MEFMEFyyyyxxxxyyyyxxxx消去参数0y得2122().9273yxx18、如图，在正三棱柱ABCABC111中，AB＝2，AA12，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为M，求：（I）求证：平面MBC1平面11BBCC（II）平面MBC1与平面ABC所成二面角（锐角）的大小解：（I）如图，将侧面BBAA11绕棱1AA旋转120使其与侧面CCAA11在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接1DC交1AA于M，则1DC就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱1AA到顶点C1的最短路线，11MACDMA，MAAM1M为1AA中点取BC1中点E，B1C1中点F，连ME，A1F，EF则有EF∥A1M，EF=A1M，∴A1MEF是平行四边形ME∥A1F，又A1F⊥平面11BBCC，∴ME⊥平面11BBCC∴平面MBC1平面11BBCC………………………………6分（II）连接DB，BC1，则DB就是平面MBC1与平面ABC的交线，在DCB中，DBBCDBCBABDCBADBC1,,903060BCC1就是平面MBC1与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）……10分BCCRt1中，BCCC1，451BCC。……12分19、（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2所以PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.……4分（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以.3360sin,32,31aAGGHaAGaEG从而,33tanGHEG.30…………8分（Ⅲ）当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下：取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.①由,21EDPEEM知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.所以BM//OE.②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC……12分20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2..6222DFBDBF（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离..113341712317123,17121743cos3cos3,.17,1,2211221MCCCCMCQGABMCGCMMCGGABBGABAGBGCGBGCCEB知由从而可得由解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.∵AEC1F为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BFBFEFFzzECAFFAEC（II）设1n为平面AEC1F的法向量，)1,,(,11yxnADFn故可设不垂直于平面显然02020140,0,011yxyxAFnAEn得由.41,1,022,014yxxy即111),3,0,0(nCCCC与设又的夹角为a，则.333341161133||||cos1111nCCnCC∴C到平面AEC1F的距离为.11334333343cos||1CCd