高考数学圆锥曲线综合问题测试

专题十五圆锥曲线综合问题1．已知向量1(0,)mx，1(1,1)n，22(,1)ny（其中x，y是实数），又设向量122mmn，212nmn，且//mn，点(,)Pxy的轨迹为曲线C．⑴求曲线C的方程；⑵设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当42||3MN时，求直线l的方程．2．如图所示，已知点(3,0)(0)App，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足0ABBQ，12BCCQ．⑴求动点Q的轨迹方程；⑵设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点，设'(3,0)Ap，求直线'AE、'AF的斜率之和．3．已知(2,0)A、(2,0)B，点C、点D满足||2AC，1()2ADABAC，⑴求点D的轨迹方程；⑵过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．4．椭圆22214xyb(0)b的焦点在x轴上，其右顶点关于直线04yx的对称点在椭圆的左准线上．⑴求椭圆的方程；⑵过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交椭圆左准线于点C．设O为坐标原点，且2OAOCOB，求OAB的面积．5．已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为(1,0)和(1,0)，点A、P、Q运动时满足||2||AEEF，AQQF，0PQAF，//APEP．⑴求动点P的轨迹C的方程；⑵设M、N是C上两点，若23OMONOE，求直线MN的方程．6．双曲线22221xyab(0,0)ab的离心率为3，A、F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，交y轴于R点，AP、AQ分别交右准线于M、N两点．⑴若5RQQF，求直线l的斜率；⑵证明：M、N两点的纵坐标之积为234a．1．⑴由已知，),2,2(),2,2(),0(22xyyxm).2,2()2,2()0,(xxn0)2)(2()2(2,//2xxynm即所求曲线的方程是：.1222yx⑵由（I）求得点M（0，1），显然直线l与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y=kx+1.由.04)21(:.1,122222kxxkykxyyx得消去解得x1=0,x2=212,(214xxkk分别为M，N的横坐标）.由.1:,234|214|1||1||22212kkkkxxkMN解得所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.2．⑴),2,0(,21),,(yBCQBCyxQ所以因为设……2分),23,(),2,3(),0,3(yxBQypABpA所以又由已知,0433,02ypxBQAB则……………………4分.4.422pxyQpxy点轨迹方程为即…………5分⑵设过点A的直线为),().0)(3(11yxEkpxky、F(x2,y2)联立方程组,034,4)3(22kpyypkxpxypxky得消去……7分y1y2=12p2………………8分)3)(3(3333212121212211pxpxpyxypyxypxypxykkFAEA…………10分2221214,4pxypxy又，所以)3)(3(34342122121221pxpxpypyypypyykkFAEA)3)(3()34)((212121pxpxppyyyy…………………………13分由y1y2=12p2,得FAEAkk=0…………14分3．⑴设C、D点的坐标分别为00(,)Cxy，(,)Dxy，则：00(2,)ACxy，(4,0)AB，001()(3,)222xyADABAC(2,)ADxy003222xxyy，解得00222xxyy||2AC，即2200(2)4xy221xy，即为点D的轨迹方程⑵易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为)2(xky①.又设椭圆方程为222214xyaa2(4)a②.因为直线l与圆122yx相切，故2|2|11kk，解得213k将①代入②整理得，0444)4(2422222222aakaxkaxaka，而213k，即222423(3)404axaxaa，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则21223axxa，由题意有224235aa2(4)a，求得82a，经检验，此时.0故所求的椭圆方程为22184xy4．⑴椭圆的右顶点为(2,0)（2，0），设(2,0)关于直线04yx的对称点为00(,)xy，则00002402212xyyx，解得04x，2a44cc，1c3b，所求椭圆方程为13422yx⑵设A),,4(),,(),,(32211yCyxByx由,01248)4k(3),1(,1443222222kxkxxkyyx得所以,4382221kkxx………①，,431242221kkxx………②因为2OAOCOB，即),(2),4(),(22211yxyyx，所以4212xx……③由①③得22122484,.3434kxxkk代入②得，22222431244344384kkkkk，整理得,05424kk所以,452k所以,47,2121xx由于对称性，只需求25k时，△OAB的面积.此时，,583,54321yy所以.5169||||2121yyOFSOAB5．⑴AQQFQ为AF的中点.0PQAFPQAFPQ是AF的垂直平分线||||PAPF//APEPA、E、P三点共线P为AF的垂直平分线与AE的交点||||||||||2||4PEPFPEPAAEEF∴点P的轨迹为椭圆，且24a，1c24a，23b∴所求的椭圆方程为.13422yx⑵设两交点的坐标为),(11yxM、),,(22yxN则22113412xy，22223412xy由已知23OMONOE可得：1223xx，1220yy由上式可组成方程组为2211222212123412134122233204xyxyxxyy（）（）（）（）把⑶、⑷代入⑴得121612362722222yxx⑸⑸—⑵×4得274x，把274x代入⑵得2358y直线MN与x轴显然不垂直，∴所求直线MN的斜率21222122353312yyyykxxxx∴所求的直线MN的方程为5(1)2yx6．⑴解：设11(,)Pxy，22(,)Qxy，因为双曲线的离心率为3，所以3ca，2ba，双曲线方程为22222ayx，因为5RQQF，所以256xc，因为直线:()lykxc，所以62cky，点Q是双曲线上一点，所以22252()()266ccka，整理得，22250123636eek，解得.26k⑵证明：设11(,)Pxy，22(,)Qxy由已知11:()yAPyxaxa，22:()yAQyxaxa，所以211()Myayaxac，222()Nyayaxac，所以222212122121212()()()MNyyyyaayyaaxaxacxxaxxac，由222()22ykxcxya，得222222(2)220kxkcxkca所以212222kcxxk，22212222kcaxxk，22222212121212222()()[()]2acyykxcxckxxcxxckk22212122()()2acxxaxxakk所以，22222222()()4()3MNacaacyyaacc