高考数学圆锥曲线的基本问题测试

圆锥曲线的基本问题一、圆锥曲线的方程，参数之间的关系的问题.1．椭圆12222byax(ab0)的左焦点F到过顶点A(-a,0),B(0,b)的直线的距离等于7b，则椭圆的离心率为（）.A、21B、54C、677D、677分析:本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为1byax，左焦点F(-c,0)，则22222222711|10|cabcbabbabac，化简，得5a2-14ac+8c2=0得21ac或45（舍），∴选A.小结:应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线12222byax(ab0)”，则由“ab0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即ab0,∴a2b2,∴a2c2-a2从而21e.2．若双曲线的渐近线方程为xy23，则其离心率为（）.A、213B、313C、133132或D、313213或分析:当双曲线方程为12222byax时，其渐近线为xaby,当双曲线方程为12222bxay时，其渐近线为xbay，从而本题对应22223bacab或22223bacba，选D.3．若112||22kykx表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距的取值范围是（）.A、（1，+）B、（0，1）C、（1，2）D、与k有关分析:首先应把方程标准化，方程可化为:12||111||22222kxkykykx∴02||0122kbka，∴k2c2=a2+b2=k-1+k-2=2k-32×2-3=1∴c1，选A.4．抛物线y2-2by+b2+4m-mx=0的准线与双曲线141222yx的右准线重合，则m的值为______.分析:首先将方程化为标准方程(y-b)2=m(x-4)而双曲线141222yx的右准线为x=3,抛物线顶点（4，b）在x=3的右侧，∴抛物线开口向右，m0,2p=m,∴焦准距（焦参数）2)34(2mp,∴m=4.5．以3x-4y-2=0,3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程为_____.分析:注意两条渐近线的交点，或一条渐近线和一条对称轴的交点都是双曲线的中心.010430243yxyx，中心为（2，1），从而准线54y为下准线，焦点在平行于y轴的直线上，从而，中心与准线相矩59)54(12ca……①,渐近线斜率为43ba……②联立①②，得a=3,b=4,c=5.方程为116)2(9)1(22xy.6．若椭圆12222byax(ab0)与圆22222)2(babyx相交，则椭圆的离心率的取值范围为_______.分析:圆锥曲线间的位置关系不能用联立方程，用判别式判定，一般来说应结合图形分析.由图可知圆半径r满足bra,∴222222cbaababb,解得5355e.7．若双曲线1492222kykx与圆x2+y2=1无公共点则k∈______.分析:同上题用数形结合的方法知31k或31k.二、利用曲线定义求解的问题1．双曲线的虚轴长为4，离心率26e，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（）.A、28B、24C、22D、8分析:利用双曲线定义，∵AB在左支上，∴|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,又∵2|AB|=|AF2|+|BF2|,|AF1|+|BF1|=|AB|∴2|AB|-|AB|=4a.|AB|=4a,而2222642bacacb得22a，∴28||AB，选A.2．设F1、F2为椭圆两焦点，点P是以F1，F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，则椭圆离心率为（）.A、32B、36C、22D、23分析:P在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2=90，而∠PF1F2=5PF2F1，∴∠PF1F2=75，∠PF2F1=15，∴021020190sin||75sin||15sin||FFPFPF，1275sin15sin||||0021cPFPF，而|PF2|+|PF2|=2a,∴3675sin15sin100ac.3．F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（）.A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线分析:延长F2P交F1Q的延长线为M，由椭圆定义及角平分线，∵||||2||||221MQQFhQFQF∴|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,则点M(x0,y0)的轨迹方程为220204)(aycx......①设P点坐标(x,y),∵P为F2M中点，∴yycxxyyxcx222020000，代入①，得(2x-c+c)2+(2y)2=4a2,∴x2+y2=a2,选A.4．双曲线12222byax的左支上一点P，⊙O'为ΔPF1F2的内切圆，则圆心O'的横坐标为（）.A、aB、-aC、2acD、2ca分析:设PF1，PF2，F1F2与内切圆⊙O'的切点分别为M，N，Q，由双曲线定义，∵|PF2|-|PF1|=2a,∴|PN|+|NF2|-(|PM|+|MF1|)=2a,而|DN|=|PM|，|MF1|=|QF1|,|NF2|=|QF2|∴|QF2|-|QF1|=2a又|QF2|+|QF1|=2c,∴|QF2|=a+c=c-xQ,∴xQ=-a,∵O'Q⊥F1F2,∴xQ'=xQ=-a，选B.三、求曲线方程1．待定系数法例:已知椭圆D:1255022yx与圆:x2+(y-m)2=9(m∈R)，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切.1）当m=5时，求双曲线G的方程.2）当m取何值时，双曲线的两条准线间的距离为1.解:1）椭圆D的两个焦点F1(-5,0),F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5.设双曲线G的方程为)0,0(12222babyax∴渐近线为bx±ay=0且a2+b2=25,m=5时，圆心M(0,5),r=3.∴3|5|22aba,得a=3,b=4，∴G方程为116922yx.2）双曲线两准线间距离为1522a，∴26a，∵G的渐近线与M相切，∴3||22abma，∴103m.2．相关点求轨迹法（代入法）例:设抛物线过定点A（0，2），且以x轴为准线求抛物线顶点M的轨迹C的方程.分析:A（0，2）在抛物线上，体现为①A（0，2）的坐标满足曲线方程②A（0，2）满足曲线定义在本题中以方式②为佳，设M(x,y)，焦点F(x0,y0),∵|AF|=轴xAd，∴2)2(2020yx，∴4)2(2020yx......①而2000yyxx，∴yyxx200代入①∴x2+(2y-2)2=4,1)1(422yx且y≠0.3．直接法（直接到方程化简）例:设点O为原点，点M在直线l:x=-p(p0)上移动，动点N在线段MO的延长线上，且满足|MN|=|MO|·|NO|.求动点N的轨迹方程.解:设N坐标为(x,y)，过N作NN'⊥x轴于N',∵M，O，N共线，∴ppxppxOMNMMOMN)(|'||''|||||，由已知|MN|=|MO|·|NO|∴)0(||22xyxNOppx∴所求方程为(p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x0)4．直接法（直接利用曲线定义）例:如图，直线l1,l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若ΔAMN为锐角Δ，17||AM，|AN|=3，|BN|=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.分析:以l1为x轴，以MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图.由题意，曲线段C是以N为焦点，以l2为准线的抛物线的一部分，其中A、B分别为C的端点.由已知条件，可求方程为y2=8x(1≤x≤4,y0)（过程略）5．交轨法例:抛物线y2=2px(p0)，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，过O作OP⊥AB交AB于P，求P点轨迹方程.解:设OA=y=kx,则xkyOB1:，pxykxy22得)2,2(2kpkpA同理B(2pk2,-2pk)22222111112222kkkkkkkkpkkppkkpkABAB:23222121)2(12kpkxkkpkxkkpky)2(11211221222232pxkkkpkxkkkpkpkxkky....①而op:xkky21.....②∵P为AB与OP的交点，联立①②)2......(..........1)1).......(2(122xkkypxkky(1)×(2)消去k,y2=-(x-2p)x,∴x2+y2-2px=0(x≠0)即为所求.四、直线与圆锥曲线的位置关系1．过点（2，4）作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有（）.A、一条B、两条C、三条D、四条分析:首先注意点（2，4）在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，与抛物线交于一点，因而选B.2．直线y:kx+1与椭圆1522myx恒有公共点，则m的取值范围是（）.A、m≥1且m≠5B、m≥1C、m≠5D、m≤5分析:直线与椭圆恒有公共点联立方程Δ恒大于等于0，由Δ≥0恒成立可得m≥1-5k2恒成立，∴m≥(1-5k2)max,∴m≥1且m≠5，选A.3．直线l:)2(xky与曲线x2-y2=1(x0)相交于A，B两点，则直线l的倾角为（）.A、[0，）B、)43,2()2,4(Ｃ、),2(]2,0[Ｄ、)43,4(分析:直线与双曲线右支交于两点，不能仅仅用Δ判定，x2-k2(x2-22x+2)=1(1-k2)x2+22k2x-2k2-1=0∴0121012200122212212kkxxkxxk∴k1或k-1.∴倾角)43,2()2,4(，选B.4．在抛物线y2=4x上恒有两点关于y=kx+3对称，求k范围.解:设B、C关于直线y=kx+3对称，则BC方程为x=-ky+m,代入y2=4x得y2+4ky-4m=0设B(x,y),C(x2,y2),BC中点M(x0,y0),∴kyyy22210,x0=2k2+m,∵M(x0,y0)在l上，∴-2k=k(2k2+m)+3∴kkkm3223,又BC与抛物线交于两点，∴Δ=16k2+16m0,即0323kkk，0)3)(1(2kkkk解得-1k0.