高考数学新题型练习4

Oxy1、已知动点(,)Pxy满足x2+y2-yx=0，O为坐标原点，则||PO的取值范围是_______解：方程x2+y2-yx=0可化为：222121yx＝21所以动点(,)Pxy的轨迹如图：为原点和四段圆弧故||PO的取值范围是｛0｝2,12、若对一切R，向量a＝（a+cos，2a-sin）的长度不超过2，则实数a的取值范围为55,55.解：依题意，得a222(cos)(2sin)4aa22(cos2sin)35aa225sin()35aa（1arcsin5）（对任意实数成立）22535aa55a.故a的取值范围为55,55。3、设x，y均为正实数，且312121yx，则xy的最小值为（）A．4B．16C．8D．24解：由312121yx可化为xy=8+x+yx，y均为正实数xy=8+x+yxy28（当且仅当x=y等号成立）即xy-2xy-80可解得xy4即xy16故xy的最小值为16。故选B。4、设axxxf2，()0,R(())0,Rxfxxxffxx，则满足条件的所有实数a的取值范围为（）A．0＜a＜4B．a=0C．a0＜4D．0a4解：0xf的根为x=0或x=-a0xff可化为0xf或xf+a＝0由题意可得xf+a＝0无解或xf+a＝0的根为x=0或x=-axf+a＝0即x2+ax+a=0=a2-4a0或a=0a0＜4。故选C。5、抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=1168.（1）求抛物线的方程；（2）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标：若不存在，请说明理由。解：（1）设所求抛物线方程为)0(22ppxy，则由0122yxpxy消支y得x2-2（1+p）x+1=0设A（x1，y1）、B（x2，y2）则x1+x2＝2（1+p）x1x2＝1由弦长|AB|=1168建立关于p的方程.解得p=112或p=-1124(舍去)故抛物线方程为xy1142.（2）设AB的中点为D则D（1113，-112），x轴上存在满足条件的点C(x0,0)，由于△ABC为正三角形.所以CD⊥AB，|CD|=23|AB|=11312.由CD⊥AB得x0＝1115但|CD|＝112223|AB|=11312故x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形。6、已知函数3()log()fxaxb的图像经过点(1,1)和点(5,3)，且数列na满足1()nafn，记数列na的前n项和为nS（*Nn）.（1）求数列na的通项公式；（2）设nStacnnn23，且数列}{nc为递增数列，即对*Nn，恒有1nncc成立，试求t的取值范围；解：（1）由条件，得33log()1,3,6,log(5)3,527,3.ababaababb于是，3()log(63)fxx，则111()(31)2xfx，xR.又因为1()nafn，所以数列na的通项公式为11(31)2nna，*Nn.（2）因为11(31)2nna，所以211(1333)2nnSn即1131(31)21342nnnnSn.于是，132411323323nnnnnnttnStac，因为1nncc，所以132413241nntt，因013,0131nn，则0)33)(24(1nnt所以2t.