高考数学数列

高考数学数列一）选择题1．（2004.湖北理）已知数列{na}的前n项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11nnbaSnnn其中a、b是非零常数，则存在数列{nx}、{ny}使得（C）A．}{,nnnnxyxa其中为等差数列，{ny}为等比数列B．}{,nnnnxyxa其中和{ny}都为等差数列C．}{,nnnnxyxa其中为等差数列，{ny}都为等比数列D．}{,nnnnxyxa其中和{ny}都为等比数列2．（2004.重庆理）若{}na是等差数列，首项120032004200320040,0,.0aaaaa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是：（C）A．4005B．4006C．4007D．40083．（2004.湖南理）数列)(lim*,,56,51,21111nnxnnnnaaaNnaaaa则中（C）A．52B．72C．41D．2544．（2004.湖南理）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元),预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（B）A．4200元~4400元B．4400元~4600元C．4600元~4800元D．4800元~5000元5、（2004.人教版理科）设数列na是等差数列，且6,682aa，nS是数列na的前n项和，则（）A、54SSB、54SSC、56SSD、56SS二）填空题6．（04.上海春季高考）在数列}{na中，31a，且对任意大于1的正整数n，点),(1nnaa在直线03yx上，则2)1(limnann_____________.37．（04.上海春季高考）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。____12nn_______个点.（1）（2）（3）（4）（5）8．（04.上海春季高考）在等差数列}{na中，当sraa)(sr时，}{na必定是常数数列。然而在等比数列}{na中，对某些正整数r、s)(sr，当sraa时，非常数数列}{na的一个例子是____________.)0(,,,,aaaaa，r与s同为奇数或偶数9.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2)13(1na(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是_______________________.210、（2004.上海理）设等比数列{an}(n∈N)的公比q=－21,且nlim(a1+a3+a5+…+a2n-1)=38,则a1=2.11、（2004.上海理）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第12、①、④组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.其中n为大于1的整数,Sn为{an}的前n项和.12．（2004.重庆理）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..，Pn，…,记纸板Pn的面积为nS，则lim______nxS.3三）解答题。。。。。。。。。。。P1P2P3P413．（2004.辽宁卷）（本小题满分14分）已知函数223)(xaxxf的最大值不大于61，又当.81)(,]21,41[xfx时（1）求a的值；（2）设.11.),(,21011naNnafaannn证明13．本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力.满分14分.（1）解：由于223)(xaxxf的最大值不大于,61所以.1,616)3(22aaaf即①………………3分又,81)(]21,41[xfx时所以1.813234,81832,81)41(,81)21(aaaff解得即.②由①②得.1a………………6分（2）证法一：（i）当n=1时，2101a，不等式110nan成立；因2,3161)(0),32,0(,0)(12nafaxxf故所以时不等式也成立.（ii）假设)2(kkn时，不等式110kak成立，因为223)(xxxf的对称轴为,31x知]31,0[)(在xf为增函数，所以由311101ka得)11()(0kfafk………………8分于是有,21)2()1(24212121)1(123110221kkkkkkkkkak…………12分所以当n=k+1时，不等式也成立.根据（i）（ii）可知，对任何Nn，不等式11nan成立.…………14分证法二：（i）当n=1时，2101a，不等式110nan成立；（ii）假设)1(kkn时不等式成立，即110kan，则当n=k+1时，)231()2(21)231(1kkkkkaakkaaa………………8分因,0231,0)2(kkaak所以.1]2)21(1[]2)232(1[)231()2(22kkkkakakaak……12分于是.2101kak因此当n=k+1时，不等式也成立.根据（i）（ii）可知，对任何Nn，不等式11nan成立.…………14分14．（2004.湖南理）（本小题满分14分）如图，直线2121:)21,0(1:21xylkkkkxyl与相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列.nx（Ⅰ）证明*),1(2111Nnxkxnn；（Ⅱ）求数列nx的通项公式；（Ⅲ）比较5||4||22122PPkPPn与的大小.14．（Ⅰ）证明：设点Pn的坐标是),(nnyx，由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：).2121,(),2121,(1nnnnxxxx由Pn+1在直线l1上，得.121211kkxxnn所以),1()1(211nnxkx即.*),1(2111Nnxkxnn（Ⅱ）解：由题设知,011,1111kxkx又由（Ⅰ）知)1(2111nnxkx，所以数列}1{nx是首项为,11x公比为k21的等比数列.从而.*,)21(21,)21(111Nnkxkkxnnnn即（Ⅲ）解：由,2121,1xykkxy得点P的坐标为（1，1）.所以,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222nnnnnkkkkxxPP.945])10()111[(45||42222212kkkPPk（i）当2121,21||kkk或即时，5||4212PPk1+9=10.而此时.5||4||2.10218||2,1|21|021222PPkPPPPknn故所以（ii）当)21,0()0,21(,21||0kk即时，5||4212PPk1+9=10.而此时.5||4||2.10218||2,1|21|21222PPkPPPPknn故所以15．(2004.天津卷)（本小题满分12分）已知定义在R上的函数)(xf和数列}{na满足下列条件：1211,...),4,3,2)((,aanafaaann，,...),4,3,2)(()()(11naakafafnnnn其中a为常数，k为非零常数。(I)令)(*1Nnaabnnn，证明数列}{nb是等比数列；(II)求数列}{na的通项公式；(III)当1||k时，求nnalim15本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分12分。(I)证明：由1210,baa可得2322121()()()0.baafafakaa由数学归纳法可证10nnnbaa*().nN由题设条件，当2n时1111111()()()nnnnnnnnnnnnnnbaabaafafaaakaaaak因此，数列{}nb是一个公比为k的等比数列。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分(II)解：由(I)知，11121()nnnbkbkaa*().nN当1k时1121211...()1nnkbbbaak(2)n当1k时12121...(1)()nbbbnaa(2)n而12121321...()()...()nnnbbbaaaaaa1(2)naan所以，当1k时11211()(2).1nnkaaaank上式对1n也成立。所以，数列{}na的通项公式为1*1(())()1nnkaafaanNk当1k时121(1)()(2).naanaan上式对1n也成立。所以，数列{}na的通项公式为*(1)(())()naanfaanN。(III)解：当||1k时11limlim[(())]1nnnnkaafaak()1faaak。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分16.（2004.江苏）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项1a32，公差1d，求满足2)(2kkSS的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有2)(2kkSS成立.16、解：（1）4k（2）100ad或112ad或110ad17．（2004.福建理）（本小题满分12分）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？17.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；Bn=500[(1+21)+(1+221)+…+(1+n21)]－600=500n－n2500－100.（Ⅱ）Bn－An=(500n－n2500－100)－(490n－10n2)=10n2+10n－n2500－100=10[n(n+1)－n250－10].因为函数y=x(x+1)－n250－10在（0，+∞）上为增函数，当1≤n≤3时，n(n+1)－n250－10≤12－850－100；当