高考数学高等学校招生全国统一考试31

高考数学高等学校招生全国统一考试31本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么柱体(棱柱、圆柱)的体积公式P（A+B）=P（A）+P（B）hVS柱体如果事件A、B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，P（A·B）=P（A）·P（B）h表示柱体的高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{|26},PQxRx那么下列结论正确的是（A）PQP（B）PQ包含Q（C）PQQ（D）PQ真包含于P（2）不等式21xx的解集为（A）)0,1[（B）),1[（C）]1,(（D）),0(]1,(（3）对任意实数,,abc在下列命题中，真命题是（A）acbc是ab的必要条件（B）acbc是ab的必要条件（C）acbc是ab的充分条件（D）acbc是ab的充分条件（4）若平面向量b与向量)2,1(a的夹角是o180，且53||b，则b（A）)6,3(（B）)6,3(（C）)3,6(（D）)3,6(（5）设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为023yx，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点。若3||1PF，则||2PF（A）1或5（B）6（C）7（D）9（6）若函数)10(log)(axxfa在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a=（A）42（B）22（C）41（D）21（7）若过定点(1,0)M且斜率为k的直线与圆22450xxy在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（A）05k（B）50k（C）013k（D）05k（8）如图，定点A和B都在平面内，定点,,PPBC是内异于A和B的动点，且.PCAC那么，动点C在平面内的轨迹是（A）一条线段，但要去掉两个点（B）一个圆，但要去掉两个点（C）一个椭圆，但要去掉两个点（D）半圆，但要去掉两个点（9）函数13xy)01(x的反函数是（A）)0(log13xxy（B）)0(log13xxy（C）)31(log13xxy（D）)31(log13xxy（10）函数],0[)(26sin(2xxy)为增函数的区间是（A）]3,0[（B）]127,12[（C）]65,3[（D）],65[（11）如图，在长方体1111DCBAABCD中，3,4,61AAADAB，分别过BC、D1C1A1B1ABCDEFE1F1BACB11DA的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFDAEAVV，11112DFCFAEBEVV,CFCBEBVV11113.若1:4:1::321VVV，则截面11EFDA的面积为（A）104（B）38（C）134（D）16（12）定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数.若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，xxfsin)(，则)35(f的值为（A）21（B）21（C）23（D）23第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.（13）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量____________________n.（14）已知向量(1,1),(2,3),ab若2kab与a垂直，则实数k等于_______________（15）如果过两点)0,(aA和),0(aB的直线与抛物线322xxy没有交点，那么实数a的取值范围是__________________.（16）从0,1,2,3,4,5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有______________个.(用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知21)4tan((I)求tan的值；(II)求2cos1cos2sin2的值.（18）（本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.(I)求所选3人都是男生的概率；(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，DCPD，E是PC的中点.(I)证明∥PA平面EDB；(II)求EB与底面ABCD所成的角的正切值.ACBDPE（20）（本小题满分12分）设{}na是一个公差为(0)dd的等差数列，它的前10项和10110S且124,,aaa成等比数列.(I)证明1ad；(II)求公差d的值和数列{}na的通项公式.（21）（本小题满分12分）已知函数3()(0)fxaxcxda是R上的奇函数，当1x时()fx取得极值2.(I)求()fx的单调区间和极大值；(II)证明对任意12,xx(1,1),不等式12|()()|4fxfx恒成立.（22）（本小题满分14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(ccF的准线l与x轴相交于点A，||2||FAOF，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(I)求椭圆的方程及离心率；(II)若,0.OQOP求直线PQ的方程.高考数学高等学校招生全国统一考试31参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）D（2）A（3）B（4）A（5）C（6）A（7）A（8）B（9）D（10）C（11）C（12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）80（14）1（15）)413,(（16）36三、解答题（17）本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查运算能力.满分12分.解：(I)解：tan1tan1tan4tan1tan4tan)4tan(由21)4tan(，有21tan1tan1解得31tan……………………4分(II)解法一：1cos21coscossin22cos1cos2sin222……………………6分cos2cossin265213121tan……………………12分解法二：由(I)，31tan，得cos31sin22cos91sin22cos91cos1109cos2…………………………6分于是541cos22cos2…………………………8分53cos32cossin22sin2…………………………10分代入得65541109532cos1cos2sin2…………………………12分（18）本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分12分.(I)解：所选3人都是男生的概率为34361.5CC(II)解：所选3人中恰有1名女生的概率为1224363.5CCC(III)解：所选3人中至少有1名女生的概率为12212424364.5CCCCC（19）本小题考查直线直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.方法一：(I)证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，PAEO∥.而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA∥平面EDB.………………3分(II)解：作EFDC交DC于F.连结BF.设正方形ABCD的边长为a.PD底面ABCD，.PDDCAOCBDPEF,EFPDF∥为DC的中点.EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故EBF为直线EB与底面ABCD所成的角.在RtBCF中，22225().22aBFBCCFaa1,22aEFPD在RtEFB中，52tan.552aEFEBFBFa所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为5.5…………………………12分方法二(略)（20）本小题考查等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式以及等比中项等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分12分.(I)证明：因124,,aaa成等比数列，故2214aaa而{}na是等差数列，有2141,3.aadaad于是2111()(3),adaad即222111123.aaddaad化简得1ad(II)解：由条件10110S和10110910,2Sad得到11045110.ad由(I)，1,ad代入上式得55110,d故12,(1)2.ndaandn因此，数列{}na的通项公式为2,1,2,3,...nann……12分（21）本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.满分12分.(I)解：由奇函数定义，应有()(),fxfxxR.即33,0.axcxdaxcxdd因此，3(),fxaxcx2'()3.fxaxc由条件(1)2f为()fx的极值，必有'(1)0,f故230acac解得1,3.ac因此，32()3,'()333(1)(1),'(1)'(1)0.fxxxfxxxxff当(,1)x时，'()0fx，故()fx在单调区间(,1)上是增函数.当(1,1)x时，'()0fx，故()fx在单调区间(1,1)上是减函数.当(1,)x时，'()0fx，故()fx在单调区间(1,)上是增函数.所以，()fx在1x处取得极大值，极大值为(1)2.f(II)解：由(I)知，3()3([1,1])fxxxx是减函数，且()fx在[1,1]上的最大值(1)2,Mf()fx在[1,1]上的最小值(1)2.mf所以，对任意12,(1,1),xx恒有12|()()|2(2)4.fxfxMm（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.(I)解：由题意，可设椭圆的方程为).2(12222ayax由已知得2222,2().acaccc解得6,2.ac所以椭圆的方程为22162xy，离心率6.3e………………4分(II)解：由(I)可得(3,0).A设直线PQ的方程为(3).ykx由方程组22162(3)xyykx得2222(31)182760.kxkxk依题意212(23)0,k得66.33k设1122(,),(,),PxyQxy则212218,31kxxk①2122276..31kxxk②由直线PQ的方程得1122(3),(3).ykxykx于是2212121212(3)(3)[3()9].yykxxkxxxx③.0,02121yyxxOQOP④由①②③④得251,k从而566(,).533k所以直线PQ的方程为530xy或530.xy……………………14分