高考数学复习—向量练习试题

高考数学复习向量练习试题第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案代号填在下面的答题框内.)1.在边长为1的等边△ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a等于A.23B.-23C.3D.02.已知AP=(x+5，y)，BP=(x-5，y)，且|AP|+|BP|=6，则|2x-3y-12|的最大值为A.12+62B.12-62C.6D.123．下列五个命题：(1)所有的单位向量相等；(2)长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；(3)若a、b满足|a||b|且a、b同向，则ab;(4)由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；(5)对于任何向量a、b，必有|a+b|≤|a|+|b|.其中正确命题的序号为A.(1)，(2)，(3)B.(5)C.(3)，(5)A.(1)，(5)4．已知向量a与b的夹角为3π2，如果向量2a+kb与3a-2b共线，则实数的k的值为A.34B.-34C.32D.-325.设四边形ABCD中，有DC=21AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形6．在△ABC中G为边BC中线AH上一点，若AH=2，则AG·(BG+CG)的A.最大值为-2B.最大值为2C.最小值为-2D.最小值为27．已知P1(2，-1)，P2(0，5)，且点P在21PP的延长线上，|PP1|=2|2PP|，则点P的坐标为A.(-2，11)B.(34，3)C.(32，3)D.(2，-7)8.已知△ABC三顶点A，B，C的坐标分别为（a1，a2），(b1，b2)，(c1，c2)，在边BC、CA、AB上分别取D、E、F使之满足：|BD|∶|BC|=|CE|∶|EA|=|AF|∶|FB|=m∶n，则A.△DEF与△ABC的重心重合B.△DEF与△ABC的外心重合C.△DEF与△ABC的内心重合D.△DEF与△ABC的垂心重合第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在下面的横线上.)9.已知点M是△ABC的重心，则MA+MB+MC=.10.已知点A(1，-2)，若向量AB与a={2，3}同向，|AB|=213，则点B的坐标为.11．已知△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是.12.已知a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)(0αβπ)，且|λa+μb|=|μa-λb|(λμ≠0)，则β-α=.三、解答题(本大题4小题，共48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)13.(本小题满分12分)设e1，e2是两个垂直的单位向量，且a=-(2e1+e2)，b=e1-λe2.(1)若a∥b，求λ的值；（2）若a⊥b，求λ的值.14.(本小题满分12分)如图，在△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，点D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA=a，OB=b.（1）用a和b表示向量OC、DC；（2）若OE=λOA，求实数λ的值.15.(本小题满分12分)(1)已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)·(2a+b)=61，求a与b的夹角θ;(2)OA=(2，5)，OB=(3，1)，OC=(6，3)，在OC上是否存在点M，使MA⊥MB，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.16.(本小题满分14分)已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP·PM=0，PM=-23MQ.（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（Ⅱ）过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x0，0)，使得△ABE是等边三角形，求x0的值.参考答案1.B依题意，得a·b+b·c+c·a=3|a|2·cos120°=-23，选B.2.A显然有P(x，y)，A(-5，0)，B(5，0).由|AP|+|BP|=6知，动点P的轨迹为以A（-5，0），B（5，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为92x+42y=1，令x=3cosθ，y=2sinθ，则|2x-3y-12|=|62cos(θ+4π)-12|，当cos(θ+4π)=-1时|2x-3y-12|取最大值为12+62.3.B单位向量可能方向不同，所以不一定相等，（1）不正确；只要方向相同或相反的向量都是共线向量，（2）不正确；向量是不能比较大小的，（3）不正确；按人教版课本规定零向量与任意向量是平行向量，(4)不正确；(5)中为向量模的不等式，正确，故选B.4.B2a+kb与3a-2b共线，存在实数t，使2a+kb=t(3a-2b)，∵a与b的夹角为3π2，则a与b不共线.∴2=3t，k=-2t，解得k=-34，选B.点评：本题考查向量的夹角的概念、夹角的求法、向量共线的条件.利用方程思想是求参数的主要方法.5.C∵DC=21AB，∴DC∥AB且|DC|≠|AB|，即四边形ABCD为梯形，又|AD|=|BC|，∴四边形ABCD为等腰梯形.6.CAG·(BG+CG)=AG·(BH+HG+CH+HG)=2AG·HG=-2|AG|·|HG|≥-2(2||||HGAG)2=-2，故选C.7.A由定比分点公式可求得P(-2，11)，选A.8.A由题意有BD=nmDC，即点D分有向线段BC所成的比为λ=nm，设点D的坐标为（x，y)，则由定比分点坐标公式有.1122221111mnnbmcnmcnmbynmnbmcnmcnmbx∴D(nmnbmc11，nmnbmc22).同理可求E（nmncma11，nmncma21），F(nmnamb11，nmnamb22).设△DEF的重心坐标为（x′，y′），则由重心坐标公式有：x=31(nmnbmc11+nmncma11+nmnamb11)=31(a1+b1+c1)，同理可求y′=31(a2+b2+c2)，这也是△ABC的重心坐标.故△DEF的重心与△ABC的重心重合.点评：由重心坐标公式，只要求出△DEF的各个顶点坐标即可.三角形的五心中，有四个心在高考中经常出现，需要特别加以关注.一是重心，即各边的中线交点，其重心坐标公式为：x=3321xxx，y=3321yyy，(其中(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是三角形的三个顶点的坐标）重心分对应的中线所成的比为1∶2的关系.二是外心，即外接圆圆心，也就是中垂线的交点，外心到三个顶点的距离相等.三是内心，即内切圆圆心，也就是角平分线的交点，内心到三边的距离相等.四是垂心，即三角形的三条高的交点.9．解：设D为AB的中点，则MA+MB=2MD，又M为△ABC的重心，则MC=-2MD，所以MA+MB+MC=0.10.解：设B(x，y)，则AB=(x-1，y+2)，AB与同a同向，∴3(x-1)=2(y+2)，又|AB|=22)2()1(yx=213，解得x=5，y=4或x=-3，y=-8，而当x=-3，y=-8时，AB与a反向，故B为(5，4).11.（2，22）如图，当A′C=2时，三角形有且只有一解，此时BC=22，∴x22.又∵三角形有两解，∴x2，综合得x∈(2，22).12.解：∵|λa+μb|=|(λcosα+μcosβ，λsinα+μsinβ)|=)cos(222，同理|μa-λb|=)cos(222，由|λa+μb|=|μa-λb|得cos(β-α)=0.∵0αβπ，∴β-α=2π.13.解：（1）∵a∥b，∴a=mb，即-2e1-e2=me1-mλe2∴mm12解得：m=-2，λ=-21.(2)∵a⊥b，∴a·b=0，(-2e1-e2)·(e1-λe2)=0即-2e12+2λe1·e2-e2·e1+λe22=0，-2+λ=0，∴λ=2.点评：本题考查两个向量垂直、平行的充要条件、向量的数量积的意义.14.解：（1）依题意，A为BC中点，则2OA=OB+OC.OC=2OA-OB=2a-b∴DC=OC-OD=OC-32OB=2a-b-32b=2a-35b.（2）若OE=λOA，则CE=OE-OC=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.∵CE与DC共线，∴存在实数k，使CE=kDC.∴(λ-2)a+b=k(2a-35b)∴解得λ=54.15.(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61，∴4a2-4a·b-3b2=61.又|a|=4，|b|=3，∴4×16-4a·b-3×9=61，∴a·b=-6，∴cosθ=||||baba=-21，∴θ=120°.(2)设存在点M，且OM=λOC=(6λ，3λ)(0λ≤1)，∴MA=(2-6λ，5-3λ)，MB=(3-6λ，1-3λ).∴45λ2-48λ+11=0，解得：λ=31或λ=1511，∴OM=(2，1)或OM=(522，1511)满足题意.∴存在M（2，1）或M（522，1511）满足题意.16．解（Ⅰ）设点M的坐标为(x，y)，则PM=-23MQ，得P(0，-2y)，Q(3x，0)，由HP·PM=0，得(3，-2y)·(x，23y)=0，所以y2=4x，由点Q在x轴的正半轴上，得x0，所以，动点M的轨迹C是以(0，0)为顶点，以(1，0)为焦点的抛物线，除去原点.（Ⅱ）设直线l：y=k(x+1)，其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2(k2-2)x+k2=0，(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(1)的两个实数根，由韦达定理得x1+x2=-1,)2(22122xxkk，所以，线段AB的中点N坐标为(222kk，k2)，线段AB的垂直平分线方程为y-k2=-k1(x-222kk)，令y=0，x0=22k+1，所以，点E的坐标为(22k+1，0).因为△ABE为正三角形，所以，点E(22k+1，0)到直线AB的距离等于23|AB|，而|AB|=221221)()(yyxx=2214kk·21k，|NE|=||122kk，∴24132kk=||122kk，解得k=±23，所以，x0=311.