高考数学佛山一中远程教育网专题资料之十七数列的通项与求和

佛山一中远程教育网专题资料之十七：数列的通项与求和董国强一.复习要点1.掌握数列通项的求法。2.掌握数列求和的方法。二.典型例题1.求数列的通项的方法求数列的通项的常用方法有观察法-归纳-证明法、公式法、阶差法、叠乘法、化归法、待定系数法、特征方程法。①.归纳-猜测-证明法由题设条件求出数列的前几项，然后归纳出一般表达式，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明，得出正确的结论，是一种重要的思维方法。例1.已知数列na的前n项和nS与通项na的关系是nnnbbaS)1(11，其中b是与n无关的常数，且1b。求出用n和b表示的an的关系式。解析：首先由公式：211nSSnSannnn得：)2()1(1)1(1121nbbabbabbannn124323322)1(,,)1(,)1(nnnbbbbabbbbabbba猜测：其次，用数学归纳法证明。证明略。②.公式法若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式211nSSnSannnn求解。例2.设数列na的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系),4,3,2,0(3)32(31nttSttSnn求证：数列na是等比数列。解析：因为)1(),4,3,2,0(3)32(31nttSttSnn所以)2(),4,3,2,0(3)32(321nttSttSnn得：)2()1(所以，数列na是等比数列。点评：公式的应用要灵活，如本例。3.阶差法例3.（本专题例1）已知数列na的前n项和nS与na的关系是nnnbbaS)1(11，其中b是与n无关的常数，且1b。求出用n和b表示的an的关系式。解析：首先由公式：211nSSnSannnn得：)2()1(1)1(1121nbbabbabbannn12221)1()1(1nnnbbabbabb133322)1()1()1(nnnbbabbabb111122)1()1()1(nnnnbbabbabb1121113211)1()1()1(1nnnnnnnnbbbbbbbbbbbabba12)1(nnnbbbba1)1)(1(12111bbbbbbnnnn点评：利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即其和为n。),2(3320)32(3),4,3,2,0(0))(32()311211NnnttaaattantSStSStnnnnnnnn（4.叠乘法例4.已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是nnannS)12(，试求通项公式na。解析：首先由nnannS)12(易求的递推公式：1232,)32()12(11nnaaanannnnn5112521221aannaann将上面n—1个等式相乘得：.)12(12(1)12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1nnannnnnnnnaann5.化归法例5.已知数列na中，21a，)2(1211naaannn，求通项公式na。解析：倒数化归得：2111nnaa2111nnaa.3422322)1(111nannaann点评：常用的化归还有对数化归，待定化归，一般需转化为等比数列或等差数列的问题。如例1中的)2()1(111nbbabbannn可转化为)2()1()1()1(11nbbabbabnnnn令bbcbcabcnnnnn1,)1(1则①问题①的解决可用待定系数法或特征根法。⑥待定系数法对于由一阶、二阶或三阶的线性递推公式求通项问题，均可用待定系数法。例6.已知数列nc中，bbc11，bbcbcnn11，其中b是与n无关的常数，且1b。求出用n和b表示的an的关系式。解析：递推公式一定可表示为)(1nncbc的形式。由待定系数法知：bbb1)1(1,1,12122bbcbbbcbbbnn故数列21bbcn是首项为112221bbbbc，公比为b的等比数列，故111121211222bbbcbbbbbbbcnnnnn2.数列的求和等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法。①分部求和法例1.已知等差数列na的首项为1，前10项的和为145，求.242naaa解析：首先由3145291010110ddaS则：6223221)21(232)222(322323)1(1224221nnnaaaandnaannnnnnn②裂项求和法例2.已知数列na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：niiiaa111。解析：首先考虑niiiaa111niiiaad11)11(1则niiiaa111=1111)11(1nnaanaad点评：已知数列na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和niiiaa111也可用裂项求和法。③错位相减法例3.已知1,0aa，数列na是首项为a，公比也为a的等比数列，令)(lgNnaabnnn，求数列nb的前n项和nS。解析：anaaaaaSanaaaaSaanbaannnnnnnnlg)32(lg)32(lg,143232①-②得：anaaaaSannnlg)()1(12nnananaaaS)1(1)1(lg2。点评：设数列na的等比数列，数列nb是等差数列，则数列nnba的前n项和nS求解，均可用错位相减法。④组合化归法例4.求和：)12)(1(532321nnnSn。解析：)1(3)2)(1(2)342)(1(nnnnnnnnan而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。213221326122)1(,6)2)(1(nnnnnCCaCnnCnnn)(6)(12212322323433nnnCCCCCCS3243212333323444612)(6)(12nnnnCCCCCCCC)2()1(21)1)(2(2)1)(2)(3(!3)1)(2(6!4)1)(2)(3(122nnnnnnnnnnnnnnnnnSn点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法。⑤逆序相加法例5.设数列na是公差为d，且首项为da0的等差数列，求和：nnnnnnCaCaCaS11001解析：因为nnnnnnCaCaCaS1100100111nnnnnnnnCaCaCaSnnnnnnCaCaCa0110101010001110012)(2)())(()()()(2nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaSaaCCCaaCaaCaaCaaS点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列na的前n项和nS12)1(nn，是否存在等差数列nb使得nnnnnnCbCbCba2211对一切自然数n都成立。⑥递推法例6.已知数列na的前n项和nS与na满足：21,,nnnSSa)2(n成等比数列，且11a，求数列na的前n项和nS。解析：由题意：12),21(nnnnnnSSaSaS.121122)1(11211)(21)21)((111112nSnnSSSSSSSSSSSSnnnnnnnnnnnn点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列na的前n项和nS的递推公式，是一种最佳解法。三.高考试题精选1.（93上海）设数列na的前n项和banbnnnaSn,),,2,1()1(是常数，且0b（1）证明na是等差数列。（2）证明以（)1,nSann为坐标的点),2,1(nPn都落在同一条直线上，并写出此直线方程。（3）设cba,21,11是以),(rr为圆心，r为半径的圆)0(r，求使得点P1，P2，P3都落在圆C外时，r的取值范围。解析：（1）bNnaabnanSSaaSannnnn2)()1(2)2(1111所以，数列na是等差数列。（2）略，（3）详解略，,64225,11,0r。2.（94全国）设数列na是正数组成的数列，其前n项和为nS，并且对于所有的自然数n，na与2的等差中项等于nS与2的等比中项。（1）写出数列na的前三项。（2）求数列na的通项公式。（3）令))((2111Nnaaaabnnnnn，求)(21limnbbbnn。解析：（1）由题意：2)2(81222nnnnaSSa.10,6,240,0)4)((2281)2(813211112121211aaaaaaaaaaaaSSaaSnnnnnnnnnnnnnn（2）244)1(,411nnaaaannn。（3）1211211242412424211)(21111nnnnnnaaaabnnnnn故.1)1211()1211215131311()(limlimlim21nnnnbbbnnnn点评：（1）已知数列na的前n项和nS与通项na的关系时，最好是先转化为递推公式，然后在由递推公式求通项公式。当然，此题也可直接求出前三项，然后猜测通项公式，并用数学归纳法证明。（2）本题的数列求和采用的是裂项求和法。3.（89全国）是否存在常数a、b、c，使得等式)(12)1()1(32212222cbnannnnn，对一切自然数n都成立？并证明你的结论。解析：此题的思路有两种：一种是考虑归纳-猜测-证明法。一种是直接求和法。下面给出一种直接求和法：2132226)1()2)(1()1(nnnCCnnnnnnna)10113(12)1()2)(1(31)3)(2)(1(4126)(2)(6)1(322123243212322323433222nnnnnnnnnnnCCCCCCCCnnnnnn所以，存在常数a、b、c，使得等式)(12)1()1(32212222cbnannnnn，对一切自然数n都成立？4.（99全国春季高考）已知函数