高考北京市海淀区高三数学二模试题(理科)

北京市海淀区2006年高三数学二模试题（理科）一．选择题：1．设全集U=R，集合M={x|x0}，N={x|x2≥x}，则下列关系中正确的是（）（A）MNM（B）MNM（C）RMN（D）()UMNð2．等比数列前3项依次为：1，a，116，则实数a的值是（）（A）116（B）41（C）－41（D）41或－413．为了得到函数sin(2)3yx的图象，可以将函数sin2yx的图象（）（A）向右平移6个长度单位（B）向左平移6个长度单位（C）向右平移3个长度单位（D）向左平移3个长度单位4．若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是（）（A）点在圆上（B）点在圆内（C）点在圆外（D）不能确定5．若α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题不正确．．．的是（）（A）α//β，m⊥α，则m⊥β（B）m//n，m⊥α，则n⊥α（C）n//α，n⊥β，则α⊥β（D）αβ=m，n与α、β所成的角相等，则m⊥n6．函数g(x)图象与函数f(x)=lg(1)x的反函数的图象关于原点对称，则函数g(x)图象大致为（）（A）（B）（C）（D）7．若f(x)=ax2+bx+c(a0，x∈R)，f(－1)=0，则“b－2a”是“f(2)0”的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件8．为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，若12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖情况种数共有（）（A）412C（B）3111162223CCCCC（C）31116322CCCC（D）311112622232CCCCCA二．填空题：9．2112lim()11xxx=。10．在同一时间内，对同一地域，市、县两个气象台预报天气准确的概率分别为910、54，两个气象台预报天气准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率是。11．正四棱锥S－ABCD内接于球O，过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为a，则SC与底面ABCD所成角的大小为；球O的表面积为。12．如图双曲线C的中心在原点，虚轴两端点分别为B1、B2，左顶点和左焦点分别为A、F，若21ABFB，则双曲线C的离心率为。13．若函数2()(2)(2)fxaxbxa(a，b∈R)的定义域为R，则3a+b的取值范围是。14．对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”，仿此，52“分裂”中最大的数是，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为。三．解答题：15．在△ABC中A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，已知向量(1,2sin)mA，(sin,1cos)nAA，满足//mn，b+c=3a.（I）求A的大小；（II）求sin()6B的值。16．如图，直三棱柱A1B1C1－ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别是棱C1C、B1C1的中点，（I）求点B到平面A1C1CA的距离；（II）求二面角B－A1D－A的大小；（III）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由。17．已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y=f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，（I）用关于m的代数式表示n；（II）求函数f(x)的单调递增区间；（III）若x12，记函数y=f(x)的图象在点M(x1，f(x1))处的切线为l，设l与x轴的交点为(x2，0)，证明：x2≥3.18．如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：||EF=2，且EF⊥l于G，点Q是直线l上一动点，点M满足：FMMQ，点P满足：//PQEF，0PMFQ，（I）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；（II）若经过点E的直线l1与点P的轨迹交于相异两点A、B，令∠AFB=θ，当34≤时，求直线l1的斜率k的取值范围.19．函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f(x)0；②对任意x，y∈R，有f(xy)=[f(x)]y；③f(31)1.（I）求f(0)的值；（II）求证：f(x)在R上是单调增函数；（III）若abc0，且b2=ac，求证：f(a)+f(c)2f(b).20．设函数f(x)的定义域、值域均为R，f(x)的反函数为1()fx，且对于任意实数x，均有15()()2fxfxx，定义数列{an}：a0=8，a1=10，an=f(an－1)，n=1，2，…….（I）求证：1152nnnaaa；（II）设bn=an+1－2an，n=0，1，2，……，求证：1(6)()2nnb（n∈N*）；（III）是否存在常数A和B，同时满足：①当n=0及n=1时，有42nnnABa；②当n=2，3，…….时，有42nnnABa成立，如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论。北京市海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．C2．D3．A4．C5．D6．C7．B8．C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．2110．0.9811．4（2分）22a（3分）12．21513．],6[（丢－6扣1分）14．9（2分）15（3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（1）由m//n得0cos1sin22AA………………2分即01coscos22AA1cos21cosAA或………………4分1cos,AABCA的内角是舍去3A………………6分（2）acb3由正弦定理，23sin3sinsinACB………………8分32CB23)32sin(sinBB………………10分23)6sin(23sin23cos23BBB即………………13分16．（共14分）解：（1）∵A1B1C1－ABC为直三棱住∴CC1⊥底面ABC∴CC1⊥BC∵AC⊥CB∴BC⊥平面A1C1CA………………2分∴BC长度即为B点到平面A1C1CA的距离∵BC=2∴点B到平面A1C1CA的距离为2……………………4分（2）分别延长AC，A1D交于G.过C作CM⊥A1G于M，连结BM∵BC⊥平面ACC1A1∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影∴BM⊥A1G∴∠GMB为二面角B—A1D—A的平面角……………………6分平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点∴CG=2，DC=1在直角三角形CDG中，552CM5tanGMB……8分即二面角B—A1D—A的大小为5arctan………………9分（3）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD………………10分其位置为AC中点，证明如下………………11分∵A1B1C1—ABC为直三棱柱∴B1C1//BC∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F∵F为AC中点∴C1F⊥A1D∴EF⊥A1D………13分同理可证EF⊥BD∴EF⊥平面A1BD…………………14分∵E为定点，平面A1BD为定平面∴点F唯一解法二：（1）同解法一……………………4分（2）∵A1B1C1—ABC为直三棱住C1C=CB=CA=2AC⊥CBD、E分别为C1C、B1C1的中点建立如图所示的坐标系得C（0，0，0）B（2，0，0）A（0，2，0）C1（0，0，2）B1（2，0，2）A1（0，2，2）D（0，0，1）E（1，0，2）………………6分)2,2,2()1,0,2(1BABD设平面A1BD的法向量为n),,1(21022202001得即BAnBDn)2,1,1(n…………8分平面ACC1A1的法向量为m=（1，0，0）6661,cosmn…………9分即二面角B—A1D—A的大小为66arccos………………10分（3）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD……11分欲使EF⊥平面A1BD由（2）知，当且仅当n//FE…………12分)2,,1(yEF1y………………13分∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件即点F为AC中点………………14分17．（共13分）解：（1）23)(nxmxxfnxmxxf23)(2………………2分由已知条件得：030)2(nmfmn3………………4分（2）233)(3mxmxxfmn………………5分mxmxxf63)(2………………6分令0630)(2mxmxxf得200xxm或时当………………7分∴函数)(xf的单调递增区间为),2(),0,(当0m时，函数)(xf的单调递增区间为（0，2）…………8分综上：当m0时，函数)(xf的单调递增区间为),2(),0,(；当0m时，函数)(xf的单调递增区间为（0，2）………………9分（3）由（1）得：233)(mxmxxfmxmxxf63)(2))(63()3(:11212131xxmxmxmxmxyl…………10分令)2(332,2,0,0112121xxxxxmy则由………………11分030)3(,2)2(3)3(2)2(3181223)2(3323221112111211212xxxxxxxxxxxx即：32x……………………13分18．（共13分）解：（1）以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，设点P（x，y）则1:),3,0(),1,0(ylEF…………2分EFPQMQFM//,)0,2(),1,(xMxQ…………3分0FQPM0)2()()2(yxx…………4分即所求点P轨迹方程yx42…………5分（2）设点))(,(),,(212211xxyxByxA设AF的斜率为1k，BF的斜率为2k，直线1l的方程为3kxy由yxkxy432…………6分01242kxx得1242121xxkxx…………7分9)4(44221222121xxxxyy646)(22121kxxkyy…………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211yyxxFBFAyxFByxFA841649121)(22212121kkyyyyxx)1)(1(||||21yyFBFA又16416491)(222121kkyyyy4216484||||cos2222kkkkFBFAFBFA…………10分由于432242122cos122kk即…………11分222242222kkk解得4488kk或…………13分∴直线1l斜率k的取值范围是}8,8|{44kkk或19．（共14分）解法一：（1）令2,0yx，得：2)]0([)0(ff……………1分1)0(0)0(ff…………………………3分（2）任取1x、),(2x，且21xx.设,31,312211pxpx则21pp21)]31([)]31([)31()31()()(2121ppffpfpfxfxf……………………4分)()()(,1)31(2121xfxfxfppf在R上是单调增函数……10分（3）由（1）