高二下学期数学测试(一)

高二下学期数学测试（一）班级学号姓名一．选择题：1．,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面和平行的是（D）A．,mn是内两条直线，且//,//mnB．,都垂直于平面C．内不共线三点到的距离都相等D．,mn是两条异面直线，,mn，且//,//mn2．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（B）A．90°B．60°C．45°D．30°3．已知直线a、b和平面、以下推理正确的是（C）A．abb//aB．////aaC．//aaD．//aa4．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（C）A．23B．25C．510D．10105．用一个平面去截一个正四棱柱，截法不同，所得截面的形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为(C)A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形6．三条侧棱两两垂直且与底面所成的角都相等是三棱锥为正三棱锥的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件7．点)0,1(P到曲线tytx22（其中参数Rt）上的点的最短距离为（B）A．0B．1C．2D．28．与椭圆1251622yx共焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为（A）A．14522xyB．14522yxC．13522xyD．13522yx9．如图,ABCD是正方形，PD平面ABCD，PDAD，则PA与BD所成的度数(C)A．30°B．45°C．60°D．90°10．若点,ab是直线210xy上的一个动点，则ab的最大值是（C）A．21B．41C．81D．161请将选择题的答案填写在下面的表格中：题号12345678910答案DBCCCABACC二．填空题11．在RtABP中，90ABP，M是AP的中点，CMAB，5AP，3BP，则异面直线CM与PB的距离为；212．在30°二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成30°角，则此直线与二面角的另一个面所成的角的正弦值为；1413．长方体的对角线长为8，长、宽、高的和为14，则它的全面积为132.14．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=a，BD⊥AC于D，以BD为棱折成直二面角ABPMCA—BD—C，P是AB上的一点，若二面角P—CD—B为60，则AP=.2a三．解答题：15．直四棱柱1111ABCDABCD的侧棱1AAa，底面ABCD是边长2ABa，BCa的矩形，E为11CD的中点.（Ⅰ）求证：平面BCE⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角EBDC的大小。（Ⅰ）证明：∵E是C1D1的中点，∴C1E=D1E=a,又由直四棱柱的性质得BC⊥面CC1D1D，∴EC=2a,BE=3a,DE=2a,又BD=5a,∴△BDE是直角三角形,△DEC也是直角三角形,∴DE⊥EC,DE⊥BE,∴DE⊥面BEC，又DE平面BDE∴平面BCE⊥平面BDE4分(Ⅱ)解：取CD的中点E′∴EE′⊥面ABCD，∴△BED在面AC内的射影是△E′BD,设二面角E—BD—C的大小为θ,∴cosθ=EBDBDESS又∵S△BDE=21DE·BE=26a2，S△BE′D=21a2,∴cosθ=66∴θ=arccos668分ED1C1B1A1DCBA16．如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°.（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因FN//HC，则△HMC∽△FMK，因H为BC中点BC=AB=2，则KN=23,21FK，∴,32231MKHMFKHC则HM=151HC，在Rt△HCC1，HC2=HM·HC1，解得HC1=5，C1C=2.另解：取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h，则C（0，1，0），F（2,0,3h），D（0,21,23），E（0，0，h），∴),21,23(),2,1,3(hCEhCF，由CF⊥DE，得0221232hDECF，解得h=2.（2）连CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，连CG，由三垂线定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=5，从而DG=,55∴tan∠CGD=15DGDC，故二面角C—AF—B大小为arctan15.17．如图，在三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D是PA的中点，二面角P—AC—B为120°，PC=2，AB=23.取AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，BD交z轴于点E.（I）求B、D、P三点的坐标；（II）求BD与底面ABC所成角的余弦值.解：（I）∵O是AC中点，D是AP的中点，,21CPOD∵∠PCA=90°∴AC⊥OD.又∵△ABC为正三角形，∴BO⊥AC.∴∠BOD为二面角P—AC—B的平面角，∴∠BOD=120°，∵OB=Absin60°=3，∴点B的坐标为（3，0，0）…………………………2分延长BO至F使OF⊥BF，则OF=ODcos60°=21，DF=ODsin60°=23，∴点D的坐标为)23,0,21(.……………………………………………………4分设点P的坐标为（x，y，z），.3,3,1,3,03,1),3,(21)23,0,21(,21zyxzyxzyxCPOD∴点P的坐标为（3,3,1）………………………………………………6分（II）∵BD在平面ABC上的射影为BO，∴∠OBD为BD与底面ABC所成的角.………………………………………8分,13267||||,cos).0,0,3(),23,0,27(BOBDBOBDBOBDBOBD∴BD与底面ABC所成角的余弦值为.13267……………………………10分18．直三棱柱111ABCABC的侧棱13AA，底面ABC中，90ACB，1ACBC。（1）求点1B到平面1ABC的距离；（2）求AB与平面1ABC所成角的大小；答案：（1）32；（2）6arcsin4。C1B1A1CBA