高二数学同步测试3

新课标高二数学同步测试（3）—（2－1第二章2.4－2.5）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．x=231y表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分2．设双曲线2222byax=1（0＜a＜b＝的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点.已知原点到直线l的距离为43c，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．3323．中心在原点，焦点坐标为(0,±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为（）A．2522x+7522y=1B．7522x+2522y=1C．252x+752y=1D．752x+252x=14．过双曲线1222yx的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条5．过椭圆22ax+22by=1（0ba）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是（）A．abB．acC．bcD．b26．椭圆122222ayax与连结A(1，2)，B(2，3)的线段没有公共点，则正数a的取值范围是（）A．(0,6)∪(17,∞)B．(17,∞)C．[6，17]D．（6，17）7．以椭圆的右焦点F２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F１，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为（）A．22B．23C．２－3D．3－１8．已知F1,F2是双曲线的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从某一焦点引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线9．已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=－21,那么m的值等于（）A．25B．23C．2D．310．对于抛物线C:y2=4x,我们称满足y024x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y=2(x+x0)与C（）A．恰有一个公共点B．恰有二个公共点C．有一个公共点也可能有二个公共点D．没有公共点二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是．12．设P为双曲线42xy2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是．13．定长为l(lab22)的线段AB的端点在双曲线b2x2－a2y2=a2b2的右支上,则AB中点M的横坐标的最小值为14．如果过两点)0,(aA和),0(aB的直线与抛物线322xxy没有交点，那么实数a的取值范围是_____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0,y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．（1）求点N的坐标（用x0表示）；（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=42，求△MPQ的面积．16．（12分）已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5kkxy交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.17．（12分）已知抛物线xy2的弦AB与直线y=1有公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程．18．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点1,2M，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）已知动直线l过点3,0P，交抛物线于,AB两点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．19．（14分）设F1、F2分别为椭圆C：22228byax=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的点A（1，23）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线12222byax写出具有类似特性的性质，并加以证明．20．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OBOA与(3,1)a共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且(,)OMOAOBR，证明22为定值．参考答案一、1．D；解析：x=231y化为x2＋3y2＝1（x＞0）．2．A；解析：由已知，直线l的方程为ay+bx－ab=0，原点到直线l的距离为43c，则有cbaab4322，又c2=a2+b2，∴4ab=3c2，两边平方，得16a2（c2－a2）=3c4，两边同除以a4，并整理，得3e4－16e2+16=0，∴e2=4或e2=34.而0＜a＜b，得e2=222221ababa＞2，∴e2=4.故e=2．评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e后还须根据b＞a进行检验.3．C；4．C；5．C；6．A；7．D；8．B；9．B；10．D二、11．2516；解析：原方程可化为42x＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，∴a＝2，b＝1，c＝3．当等腰直角三角形，设交点（x，y）（y＞0）可得2－x＝y，代入曲线方程得：y＝54∴S＝21×2y2＝2516．12．x2－4y2＝1；解析：设P（x0，y0）∴M（x，y），∴2,200yyxx∴2x＝x0，2y＝y0∴442x－4y2＝1x2－4y2＝1．13．222)2(baala；14．13,4；三、15．（1）设A(x1,y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x1+x2=2x0．得线段AB垂直平分线方程：),(20212121xxyyxxyyy令y=0，得x=x0+4,所以N(x0+4,0)．（2）由M(x0,y0),N(x0+4,0),|MN|=42,得x0=2．由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M(2,4),N(6,0)．直线PQ:y=x－6,由),4,2(),12,18(.8,62QPxyxy得得△MPQ的面积是64．16．解：∵（1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd．故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得07830)31(22kxxk.设CDyxDyxC),,(),,(2211的中点是),(00yxE，则.11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求k=±7.说明：为了求出k的值,需要通过消元,想法设法建构k的方程.17．解：设),(11yxA、),(22yxB，中点),1(0yN当AB直线的倾斜角90°时，AB直线方程是.2||,1ABx（2分）当AB直线的倾斜角不为90°时，222211,yxyx相减得))((212121yyyyxx所以kykyAB211200即（4分）设AB直线方程为：)1(21)1(0xkkyxkyy即，由于弦AB与直线y=1有公共点，故当y=1时，21021112112kkkkk即0121)1(21222kkyyyxxkky故所以121122121kyykyy，故)14)(11(]4))[(11(||11||22212212212kkyyyykyykAB014,011],41,0(1,21222kkkk25)21411()14)(11(||22222kkkkAB故当25||,361411max22ABkkk时即18．解：（Ⅰ）设抛物线方程为220ypxp，将1,2M代入方程得2p，24yx抛物线方程为:；由题意知椭圆、双曲线的焦点为211,0,1,0,FFc=1；对于椭圆，222122112114222aMFMF；222222212123222221322222aabacxy椭圆方程为：对于双曲线，122222aMFMF222222213222221322222aabcaxy双曲线方程为：（2）设AP的中点为C，l的方程为：xa，以AP为直径的圆交l于,DE两点，DE中点为H令11113,,,22xyAxyC22111111322312322DCAPxyxCHaxa2222221112121132344-2324622222DHDCCHxyxaaxaaaDHDEDHlx当时,为定值;为定值此时的方程为：19．解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1，23）在椭圆上，因此222)23(21b=1得b2=3，于是c2=1.所以椭圆C的方程为3422yx=1，焦点F1（－1，0），F2（1，0）.（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：2,2111yyxx，即x1=2x+1，y1=2y.因此3)2(4)12(22yx=1.即134)21(22yx为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：2222byax=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中2222bnam=1.又设点P的坐标为（x，y），由mxnykmxnykPNPM,，得kPM·kPN=2222mxnymxnymxny，将22222222,abnbxabym2－b2代入得kPM·kPN=22ab.评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意20．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.（1）解：设椭圆方程为),0,(),0(12222cFbabyax则直线AB的方程为1,2222byaxcxy代入化简得02)(22222222bacacxaxba.令),,(),,(2211yxByxA则.,22222222122221babacaxxbacaxx),