高二数学教材中有关距离的问题练习

高二数学教材中有关距离的问题练习题1（第111页练习第2题)如图，已知两条异面直线所成的角为θ，在直线a、b上分别取E、F，已知A’E=m，AF=n，EF=l，求公垂线AA′的长d.解：AFAAEAEF，)()(2AFAAEAAFAAEAEF.AFAFAAAFEAAFAFAAAAAAEAAAAFEAAAEAEAEA∵AFAAEAAA,，AFEA,=π—θ（或θ），∴AFEAAFAAEAl222222222cosmdnmn，当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”∴2222cosdlmnmn.变式1.已知:两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A1E＝m，AF＝n，求证:EF＝d2＋m2＋n2±2mncosθ(92(26))证明:设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β＝c，则c∥a，因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c，又∵AA1⊥bAA1⊥α，由两个平面垂直的性质定理有EG⊥α.连结FG，则EG⊥FG，在Rt△EFG中，EF2＝EG2＋FG2∵AG＝m，∴在△AFG中，FG2＝m2＋n2－2mncosθ∵EG＝d，∴EF2＝d2＋m2＋n2－2mncosθ如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧，则EF2＝d2＋m2＋n2＋2mncosθ因此EF＝d2＋m2＋n2±2mncosθ.变式2:(P92练习第3题)如图,线段AB,BD在平面内,BD⊥AB,线段AC⊥α,且AB=a,BD=b,AC=c,求C,D间的距离.222CDabc.变式3:(P106例2)：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，.ACaBDbCDcABd，，，ABACCDDB222()dABACCDDB2222()ABCDBDACCDACDBCDDB2222acbACDB2222acbCADBαβbaA1AEFdmnGDCBA于是，得22222CADBabcd设向量CA与DB的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此,22222cos.ababcd库底与水坝所成二面角的余弦值为2222.2abcdab变式4:(P107练习第2题)已知在一个60的二面角的棱长有两点,AB，,ACBD分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段AB，又知4,6,8ABcmACcmBDcm，求CD的长奎屯王新敞新疆解：由已知,,CAABABBD,18060120CABD,∴22||()CDCAABBD222||||||268cos120CAABBD2221648268268，||217()CDcm.变式5:(P113习题3.2A组第9题)正方体1111ABCDABCD的棱长为1,点M是棱1AA的中点,点O是1BD的中点,求证:OM是异面直线1AA与1BD的公垂线,并求OM的长.解:以A为原点建立坐标系,得下列坐标:111(0,0,0),(0,1,0),(,,)222ABO，111(0,0,1),(1,0,1),(0,0,)2ADM.因为110,0OMAAOMBD,所以11,OMAAOMBD.112||442OM.题2(P119复习参考题B组第3题)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和AC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=0.5.(1)四棱锥S-ABCD的体积；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的大小.解：（1）直角梯形ABCD的面积为110.53()1224SBCADAB底面。∴四棱锥S-ABCD的体积为113113344VSAS底面.(2)建立如图空间直角坐标系Axyz,则1(0,1,0),(,0,0),(1,1,0),(0,0,1)2BDCS,11(,0,0),(1,1,0),(,0,1)22ADSCSD.∵SA⊥平面ABCD,AD⊥AB,∴向量AD是面SAB的一个法向量.设平面SCD的一个法向量为(,,)nxyz,由,nSCnSD0,0nSCnSD0,2,102xyzxzyzxz令1z,则(2,1,1)n.SCADB120(1)0162cos,13||||62ADnnnADn.∴面SCD与面SAB所成二面角的大小6cos3arc.变式1:如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,90ABC,SAABCD面，11,.2SAABBCAD(1)求证：面SAB⊥面SBC;(2)E点是SC的中点,求证：DE⊥面SBC.变式2:如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝a，AD＝3a，且∠ADC＝arcsin55，又PA⊥平面ABCD，PA＝a，求：(94上海)⑴二面角P－CD－A的大小(用反三角函数表示)；⑵点A到平面PBC的距离.解:如图，在平面ABCD内，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE，有PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知PE⊥CD，故∠PEA是二面角P－CD－A的平面角在Rt△DAE中，AD＝3a，∠ADC＝arcsin55则AE＝ADsin∠ADC＝355a在Rt△PAE中，tan∠PEA＝PAAE＝53故二面角P－CD－A的大小为arctan53⑵在平面PAB中，过点A作AH⊥PB，垂足为H，有PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，PA⊥BC，则有BC⊥平面PAB.又AH∩平面PAB，因此BC⊥AH.又AH⊥PB，故AH⊥平面PBC.因此线段AH的长即为点A到平面PBC的距离.在等腰直角△PAB中，AH＝22a,即点A到平面PBC的距离为22a.题3(P114习题3.2B组第3题)如图,在棱长为a的正方体''''OABCOABC中,点E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.(1)求证''AFCE;(2)当三棱锥'BBEF的体积取得最大时,求二面角'BEFB的正切值.解:(1)以C为坐标原点,以CO、CB、'CC为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-xyz,设AEBFm，则''(,,0),(0,,0),(,,),(0,0,)EamaFamAaaaCa，''(,,),(,,)AFamaCEamaa，''220AFCEaamama，∴''AFCE，即''AFCE.PABCDPABCDEH(2)'2111[()]()326BBEFVaammamam当且仅当2am时,即E,F分别为AB,BC中点时,'BBEFV最大.取EF的中点G,连结BG,'BG,则3(,,0)44aaG,BG⊥EF,'BG⊥EF,即'BGB是二面角'BEFB的平面角.又'(,,0),(,,)4444aaaaGBGBa,∴'''1cos3||||GBGBBGBGBGB.即'tan22BGB.∴二面角'BEFB的正切值是22.题4:(P114习题3.2B组第2题)在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1,且平面ABCD与平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形的对角线AC和BF上移动，且CM和BN若的长度相等,记CM＝BN＝a(0＜a＜2).(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小；(3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的余弦值。解:以B为坐标原点,以BA、BE、BC为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则2222(0,0,0),(1,0,0),(,0,),(,,0)2222BAMaaNaa，（1）∵22(0,,1)22MNaa，∴22212||(1)2122MNaaaa.(2)∵2221||21()22MNaaa,∴当22a时,min1||2MN.(3)由(2)知当M,N分别为AC、BF中点时MN的长最小，则1111(,0,),(,,0)2222MN.取MN的中点G,连结AG,BG,则111(,,)244G.∵AM=AN,BM=BN,G为MN中点,∴AG⊥MN,BG⊥MN,即∠AGB即为二面角α的平面角.∵111111(,,),(,,)244244GAGB，1cos3||||GAGBGAGB.AFBEDCMN所求二面角α的余弦值为13.变式:如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)(2002年全国(18)、天津(18乙))1．求MN的长；2．当a为何值时，MN的长最小；3．当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP＝NQ，即MNQP是平行四边形.∴MN＝PQ,由已知，CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1，AC＝BF＝2.∴CP1＝a2，BQ1＝a2,即CP＝BQ＝a2.MN＝PQ＝(1－CP)2＋BQ2＝(1－a2)2＋(a2)2＝(a－22)2＋12(0＜a＜2)∴MN＝(a－22)2＋12(0＜a＜2)（2）由（1）MN＝(a－22)2＋12所以，当a＝22时，MNmin＝22即当M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长度最小，最小值为22（3）取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB即为二面角α的平面角。又AG＝BG＝64，所以由余弦定理有cosα＝(64)2＋(64)2－12·64·64＝－13.故所求二面角α＝arccos(－13).题5:(P114习题3.2B组第1题)如图,四面体DABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,点E是AC中点;异面直线AD与BE所成角为,且10cos10,求四面体DABC的体积.解:以B为坐标原点,以BC、BA、BD为x、y、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,1,0)CAEBE，设(0,0,),(0,2,)DzDAz2210cos,1024DABEz.216,4.||4zzBE.AFBEDCMNAFDBECNMQP∴118(22)2323DABCV.题6:(P112习题3.2A组第5题)如图，空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE.(1)计算DE的长;(2)求点O到平面ABC的距离.解:(1)22DEDEDEDE211()22DEABACAB2111()222OAACAB12(11111)44,22DE.(2)11111()(),22222AEAOACABAO3||||,2AEAO1362cos,sin3332.点O到平面ABC的距离是66sin133OHOA.题7如图，设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，求：(91上海)⑴AD的连线与平面BCD所成的角；⑵AD得连线与直线BC所成的角；⑶二面角A－BD－C的大小解:⑴过A在平面ABC内作AO⊥BC于O，连接DO，∵面ABC⊥面BCD，∴AO⊥面BCD，于是∠ADO就是所求AD