高二上学期数学竞赛

高二上学期数学竞赛一、选择题（每小题6分,满分30分）2.设a,bR,ab≠0，那么，直线axy+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是(A)(B)(C)(D)2.一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．21B．22C．23D．133.当210k时，方程kxx1的解的个数是（）A．0B．1C．2D．34.若x[125,3]，则y=tan(x+32)tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是(A)2512(B)2611(C)3611(D)35125．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足),,0[),||||(ACACABABOAOP则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心二.填空题(每小题8分,满分40分)6.不等式|x|32x24|x|+3＜0的解集是__________7.设F1,F2是椭圆14922yx的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于.__________8.已知A={x|x24x+3＜0,xR},B={x|x22(a+7)x+5≤0,xR}．若AB,则实数a的取值范围是____________.9.若方程2a·9sinx+4a·3sinx+a–8=0有解，则a的取值范围是________.10.已知x,y都在区间(2,2)内，且xy＝1，则函数u=244x+299y的最小值是________.OxyxyOxyOxyO三.解答题(满分50分)1.（本题满分10分）有三个城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？2.（本题满分10分）已知a,b,c∈R，函数f(x)=ax2+bx+c.（1）若a+c=0，f(x)在[-1,1]上的最大值为2，最小值为25，证明：a0且|ab|2；（2）若a0，p、q满足p+q=1，且对任意的实数x、y均有pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，证明：0≤p≤1.3.（本题满分15分）已知直线l与圆0222xyx相切于点T，且与双曲线122yx相交于A、B两点.若T是线段AB的中点，求直线l的方程.4．（本题满分15分）已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.高二数学竞赛答案1—5BDDCB。6.（-3，251）U（215，3）.7.4.8.[-4,∞9.[8/31,72/23]10.12/511.本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分10分.解：由题设可知，,0ba记,22bah设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为.232)3(3)()(2)(222222bhhyyhybyf所以，当3hy时，函数)(yf取得最小值.答:点P的坐标是).31,0(22ba12.分析：（1）用反证法。假设a=0或|ab|≥2，由a+c=0，得a=-c，故f(x)=ax2+bx-a.当a=0时，f(x)=bx，是一个单调函数，其最大值为|b|，最小值为-|b|，又已知得：|b|=2且-|b|=25，矛盾，故a0。当|ab|≥2时，|-ab2|≥1，函数f(x)在[-1,1]上也是单调函数，由上可知矛盾，故|ab|2。综合以上两种情况，得a0且|ab|2；(2)pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(ax2+bx+c)+q(ay2+by+c)-[a(px+qy)2+b(px+qy)+c]=ap(1-p)2x2-2apqxy+aq(1-q)y2=apq(x-y)2≥0,因为a0,(x-y)2≥0，所以pq≥0,p(1-p)≥0，故0≤p≤1.13.直线l与x轴不平行，设l的方程为akyx代入双曲线方程整理得012)1(222akayyk……………………2分而012k，于是122kakyyyBAT从而12kaakyxTT即)1,1(22kakakT……6分点T在圆上012)1()1(22222kakakak即22ak①由圆心)0,1(O.lTO得1lTOkk则0k或122ak当0k时，由①得la,2的方程为2x；当122ak时，由①得1alK,3的方程为13yx.故所求直线l的方程为2x或13yx…………………………15分14.本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分。解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=(1,0),c=(0,a),∴).2,1(2),,(aciaic因此，直线OP和AP的方程分别为y=ax和y－a=－2ax.消去参数，得点P（x,y）的坐标满足方程y(y－a)=－2a2x2,整理得,1)2()2(81222aayx①因为a0，所以得：（i）当a=22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当0a22时，方程①表示椭圆，焦点E)2,2121(2aa和)2,2121(2aaF为合乎题意的两个定点；（iii）当a22时，方程①表示椭圆，焦点E))2121,0(2aa和F2121,0(2aa））为合乎题意的两个定点.