高二级数学知识应用竞赛试卷

从化六中高二级数学知识应用竞赛试卷（考试时间：120分钟全卷满分：100分）题号一二三合计（9）（10）（11）（12）得分一、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）某商店出售一种商品，每天能售出200件，每件能获利30元。据市场调查分析，当这种商品中的每一件每降价1元时，每天可以多售出10件，为使每天获利最多，则这种商品中的每一件应降价（）（A）3元（B）5元（C）8元（D）10元（2）我国首航员杨利伟乘坐的“神舟五号”载人宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m公里，远地点B距地面为n公里．若地球的半径为R公里，则飞船运行轨道的短轴长为(A)mn(B)2))((RnRm(C)2nm(D)))((RnRm（3）平面上有二个向量1e＝（1，0），2e＝（0，1），今有质点P从0P（-1,2）开始沿着与向量1e＋2e相同的方向作匀速直线运动，速度为|1e＋2e|米/秒；另一个动点Q从点0Q（-2,-1）出发，沿着与向量31e＋22e相同的方向作匀速直线运动，速度为|31e＋22e|米/秒，设P、Q在时刻t＝0秒时分别在0P，0Q处，则当00QPPQ时，t等于（）（A）2秒（B）3秒（Ｃ）４秒（D）5秒（4）右图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积)(2my与时间t（月）的关系为：tay.有以下判断：①这个指数函数的底数为2；②第5个月后，浮萍面积就会超过302m；③浮萍从42m蔓延到122m只需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到22m,226,3mm所经过的时间分别为,,,321ttt则321ttt．其中正确判断的个数是（）(A)1(B)2(C)3（D）4O123ty8421DACB600二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（5）现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm．设0＜a≤8，水箱里盛有深为acm的水，若往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块，则水深为_________cm.（6）如图，距离船只A的正北方向100nmile处，有一船只B以每小时20nmile速度，沿北偏西060角的方向行驶，船只A以每小时15nmile速度，向正北方向行驶，两船同时出发，经过小时后，两船相距最近。（7）现有一块长轴长为1米、短轴长为0.8米的椭圆形玻璃镜片，欲从此镜片中划出一块矩形镜片，则此矩形镜片的最大面积为________平方米。（8）某工厂为某工地生产一种无盖圆柱形容器，容器的底面半径r[2，3]（米），容积为)(233米，制造容器底面的材料每平方米为30元，制造容器侧面的材料每平方米为20元，设计时材料的厚度可忽略不计，则这种容器的最低造价为元．（取π＝3.14，精确到1元）三、解答题：本大题共4小题，共60分．要求写出解答过程．（9）（本小题满分10分）某人身高为a,在流溪河边测得文峰塔尖的仰角为，而在流溪河的倒影中测得塔尖的俯角为，求文峰塔的高h.ah（10）（本小题满分15分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、奖金所得不超过800元部分不必交税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项纳税按下表分段累进计算：应纳税所得额税率不超过500元部分5％超过500元到2000元部分10％超过2000元到5000元部分15％超过5000元到20000元部分20％…………(1)有一人某月工资奖金收入额为1500元，应纳个人所得税多少元？(2)有人某月缴纳个人所得税250元，他该月的工资奖金收入为多少？(11)（本小题满分15分）一个滚球轴承的内外圆的半径分别为R－d，R，如图所示，问：这个轴承里最多可放几个滚珠？RR－d(12)（本小题满分20分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（Ⅰ）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（Ⅱ）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lhS4，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米，7≈2.65）从化六中高二级数学知识应用竞赛试卷答案：（1）B（2）B（3）A（4）C（5）45a（6）1320（7）0.4（8）471（9）（本小题满分10分）解：依题意，观测点到文峰塔的水平距离为cot)(cot)(ahah或，则)sin()sin(cossinsincoscossinsincossincossincossincossincoscotcot)cot(cot)cot(cot)cot(cotcot)(cot)(aaaahahahah答：（略）（10）（本小题满分15分）解：依题意，设某人的工资奖金收入为x元，应交纳个人所得税额为y元，则y关于x的分段函数为：........]20800,5800(%20)5800(625]5800,2800(%15)2800(175]2800,1300(%10)1300(25]1300,800(%5)800(]800,0(0xxxxxxxxxy(1)当x=1500时，代入以上函数求得y=25＋（1500－1300）10％＝45(元)(2)当y=250时，可知]5800,2800(x,代入以上函数，250=175＋（x-2800）15%得x=3300(元)答：（略）(11)（本小题满分15分）解：如图，设两圆P，Q相切于点T，连接OT在Rt△OTP中∠POT＝2，OP＝R－2d。PT＝2dPQTOR-dR-d则有222sindRd，得)2arcsin(2dRd当圆心角为时，可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）时可放的滚珠为dRd2arcsin2但滚珠数应是整数，因此放滚珠的最多数目n只能是不超过dRd2arcsin的最大整数。(12)（本小题满分15分）解:（Ⅰ）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），椭圆方程为12222byax.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744ala此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（Ⅱ）由椭圆方程12222byax，得.15.4112222ba4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222bhalbabaSablhSbhalababba此时得有取最小值时当所以且即因为故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小。