高二级数学不等式的证明测试

（2）不等式的证明一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）１．若a0,b0,则)11)((baba的最小值是（）A．2B．22C．24D．42．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的（）A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．必要或充分条件3．设a、b为正数，且a+b≤4，则下列各式中正确的一个是（）A．111baB．111baC．211baD．211ba4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥bB．ab≥cC．bc≥aD．ab≤c5．设a=2，b=37，26c，则a、b、c间的大小关系是（）A．abcB．bacC．bcaD．acb6．已知a、b、m为正实数，则不等式bambma（）A．当ab时成立B．当ab时成立C．是否成立与m无关D．一定成立7．设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是（）A．P≥QB．P≤QC．PQD．PQ8．已知ab且a+b0，则下列不等式成立的是（）A．1baB．1baC．1baD．1ba9．设a、b为正实数，P=aabb，Ｑ=abba，则P、Q的大小关系是（）A．P≥QB．P≤QC．P=QD．不能确定10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（）A．甲先到B．乙先到C．甲乙同时到D．不能确定二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．12．已知a1，algb=100，则lg(ab)的最小值是．13．使不等式a2b2，1ba，lg(a－b)0，2a2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是．14．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为元．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．若a、b、c都是正数，且a+b+c=1，求证：(1–a)(1–b)(1–c)≥8abc．（12分）16．设21loglog21,0,1,0tttaaaa与试比较的大小．（12分）17．已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：2222)(cbacba（12分）18．已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd．（12分）19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ1），画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（14分）20．数列{xn}由下列条件确定：Nnxaxxaxnnn),(21,011．（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥a；（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥1nx．（14分）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案DBBBDAACAA二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．x≥912．2213．ab114．1760三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[证明]：因为a、b、c都是正数，且a+b+c=1，所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2bc·2ac·2ab=8abc．16．（12分）[解析]：ttttaaa21loglog21logttt21,0（当且仅当t=1时时等号成立）121tt（1）当t=1时，ttaalog21log（2）当1t时，121tt，若ttttaaaalog2121log,021log,1则若ttttaaaalog2121log,021log,10则17．（12分）[证明]：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，acb2又∵a，b，c都是正数，所以acb0≤caca2∴bca∴0)(2)(2)(22bcabbbcabacbcab∴2222)(cbacba18．（12分）[证法一]：（分析法）∵a,b,c,d,x,y都是正数∴要证：xy≥ac+bd只需证：(xy)2≥(ac+bd)2即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c2≥2abcd由基本不等式，显然成立∴xy≥ac+bd[证法二]：（综合法）xy=222222222222dbdacbcadcba≥bdacbdacdbabcdca22222)(2[证法三]：（三角代换法）∵x2=a2+b2，∴不妨设a=xsin,b=xcosy2=c2+d2c=ysin,d=ycos∴ac+bd=xysinsin+xycoscos=xycos()≤xy19．（14分）[解析]：设画面高为xcm，宽为xcm则x2=4840．设纸张面积为S，有S=（x+16）(x+10)=x2+(16+10)x+160,S=5000+44).5(10当8.)185(85,5取得最小值时即S此时，高：,884840cmx宽：,558885cmx答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．20．（14分）（I）证明：由,01ax及),(211nnnxaxx可归纳证明0nx（没有证明过程不扣分）从而有).()(211Naaxaxxaxxnnnnn所以，当axn,2时成立.（II）证法一：当)(21,0,21nnnnxaxxaxn因为时所以,021)(2121nnnnnnnxxaxxaxxx故当.,21成立时nnxxn证法二：当)(21,0,21nnnxaxxaxn因为时所以122)(21222221nnnnnnnnnnxxxaxxxaxxx故当成立时1,2nnxxn.