毕业班质量检测

2005年广州市高三教学质量抽测试题数学2005年2月24日本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3.考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB，24πSR如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB，球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，34π3VR那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)kknknnPkCpp。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若{1,2,3,4,5}U，{1,2,4}M，{3,4,5}N，则()UMNð（）A．{4}B．{1,2,3}C．{1,3,4}D．{1,2,3,5}2.2211lim21xxxx（）A．12B．23C．0D．23.不等式|||2|xx的解集是（）A．{|1}xxB．{|1}xxC．{|11}xxD．{|1}xx4.直线ym与圆22(2)1xy相切，则常数m的值是（）A．1B．3C．1或3D．2或45.在ABC中，“π3A”是“3sin2A”的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6.在等差数列{}na中，1233aaa，282930165aaa，则此数列前30项的和等于：A．810B．840C．870D．900C1D1B1A1CDABPM7.椭圆2219xy的两个焦点为1F、2F，且椭圆上的点P满足112PFFF，则2||PF：A．173B．53C．13D．838.931xxx的展开式中的常数项是（）A．84B．84C．36D．369.已知球的表面积为4π，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为π2，则球心O到平面ABC的距离为（）A．63B．36C．3D．3310.函数22()sin3cosfxxx的最小正周期是（）A．π4B．π2C．πD．2π11.将4名医生分配到3间医院，每间医院至少1名医生，则不同的分配方案共有（）A．48种B．12种C．24种D．36种12.如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点M在棱AB上，且13AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线11AD的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线2005年广州市高三教学质量抽测试题数学第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分171819202122分数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。13.设复数13i22z，则2zz。14.某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2。为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中业务人员人数为JAJCJB30，则此样本的容量n。15.设x、y满足约束条件：10xyyxy，则3zxy的最大值是。16.已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。在上面的结论中，正确结论的编号是。（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）如图，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关AJ、BJ、CJ，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内开关AJ、BJ、CJ能够闭合的概率分别是45、35、25，计算：（Ⅰ）在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率；（Ⅱ）在这段时间内线路正常工作的概率。18.（本小题满分12分）已知向量(cos,sin)a，(3,1)b。（Ⅰ）当ab时，求tan2；（Ⅱ）求||ab的最大值。C1D1B1CDABA119.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，112ABADAA，点G为1CC上的点，且CG114CC。（Ⅰ）求证：1CD平面ADG；（Ⅱ）求二面角CAGD的大小（结果用反余弦表示）。20.（本小题满分12分）已知数列{}na的前项和为nS，3(1)2nnSa（nN）。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）求1limnnnSS。21.（本小题满分12分）已知抛物线C的顶点在原点，以双曲线22115yx的左准线为准线。（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线:1(1)lykx（0k）垂直平分抛物线C的弦，求实数k的取值范围。22.（本小题满分14分）已知函数()1lnfxxax（aR）。（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）证明：ln1xx。xyxB1C1D1CDABA12005年广州市高三教学质量抽测数学试题参考答案一、选择题：题号123456789101112答案DBACABAADCDB二、填空题：13．114．4015．316．①②④三、解答题：17.解：（Ⅰ）43224555125P；（Ⅱ）4321191111555125P。18.解：（Ⅰ）3cossin0tan3abab，故222tan2(3)tan231tan1(3)；（Ⅱ）因为22||||2||12(3cossin)4abaabbπ54sin5433，当且仅当πsin13时，取得等号，故max(||)3ab。19.解：如图建立空间直角坐标系，设1122ABADAA，则有（Ⅰ）证明：因为1(0,2,4)CD，(2,0,0)DA，(0,2,1)DG，所以10CDDA，10CDDG，因此有1CDDA，1CDDG。又因为DA平面ADG，DG平面ADG，且DADGD，故有1CD平面ADG；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：1(0,2,4)CD是平面ADG的法向量。又显然，向量(2,2,0)DB是平面CAG的法向量，由此及111410cos,10||||2522CDDBCDDBCDDB得二面角CAGD的大小为10arccos10。20.解：（Ⅰ）11113(1)32aSaa；当2n时，有11113333(1)(1)32222nnnnnnnnnaSSaaaaaa，故数列{}na是以13a为首项，以3q为公比的等比数列，其通项公式3nna（nN）；（Ⅱ）因为333(1)(31)22nnnnnaSa，11133(1)(31)22nnnSa，所以11113113limlimlim131333nnnnnnnnnSS。21.解：（Ⅰ）双曲线22115yx的左准线方程是14x，故抛物线C的方程为2yx；（Ⅱ）解法一：设抛物线C被直线l垂直平分的弦AB的方程为0xkyc，则2220400yxykyckcxkyc。……①设11(,)Axy、22(,)Bxy，则12yyk，21212()22xxkyyckc，从而弦AB的中点22,22kckM，由此及点M在直线l上得232211222kkckkkck，代入①式得33222(2)2400(2)(22)0kkkkkkkkkkk，解之得20k，故实数k的取值范围是(2,0)。解法二：依题意，设00(,)Axmyn、00(,)Bxmyn，则弦AB的中点00(,)Mxy，从而有200002000()114222()ABynxmnknymkymykynxm。因为点00(,)Mxy在直线l上，所以00001111(1)12yykxxkk。注意到点M在抛物线C的内部，故2220011(2)(2)020424kkkkyxkkk，即实数k的取值范围是(2,0)。22.解：（Ⅰ）函数()fx的定义域为(0,)，且121()2121axaxfxxxxx：①若0a，则()0fx在(0,)上恒成立；②若0a，则222220()021221440xfxxaxxaaaxaxa，222220()0210221440xfxxaxxaaaxaxa，综上所述，有下面结论：若0a，则()fx在(0,)内单调递增；若0a，则()fx在22(0,221)aaa内单调递减，而在22(221,)aaa内单调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：函数()1lngxxx在(0,222)内单调递减，而在(222,)内单调递增，故当0x时，有2min()()(222)322ln(222)(12)ln210gxgxge，故有1lnxx，即ln1xx。