北京海淀区2002届高三数学二模试题

高三第二学期期末练习数学2002．6学校________________班级_______________姓名_________________参考公式:三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cossinlccS)(21/台侧，其中/c、c分别表示上、下底面周长，l表)]sin()[sin(21sincos示斜高或母线长)]cos()[cos(21coscos台体的体积公式)]cos()[cos(21sinsinhSSSSV）（台体//31其中S/、S分别表示上、下底面积，h表示高一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I={1，3，5，7，9}，集合A={1,}7,5{},9,5Aa，则a的值是()(A)2(B)8(C)–2或8(D)2或8(2)函数)1(log2xy的反函数的图象是（）yyyyxxxx(A)(B)(C)(D)（3）(理)若点P),(yx在曲线(sinycosx5453为参数)上，则使22yx取得最大值的点P的坐标是（）(A)（6，-8）(B)（-6，8）(C)（3，-4）(D)（–3，4）（文）若直线01243yx与两坐标轴交点为A、B，则以线段AB为直径的圆的方程是（）(A)03422yxyx(B)03422yxyx(C)043422yxyx(D)083422yxyx(4)71)xx(展开式的第四项等于7，则x等于（）O-1OO-1O12O12（A）-5（B）51（C）51（D）5(5)（理）下列命题中，使命题M是命题N成立的充要条件是（）(A)22:,:bcacNbaM(B)cbdaNdcbaM:,,:(C)bdacNdcbaM:,0,0:(D)0:,:abNbabaM（文）若ba,是任意实数，且ba，则（）（A）22ba（B）ba2121（C）0)balg(（D）1ab(6)（理）已知复数)21,,(xRyxyixz，满足xz1，那么z在复平面上对应点(x,y)的轨迹是（）(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线(文)复数2)1(31ii的辐角主值是(A)6(B)65(C)67(D)611(7)用半径为48cm的半圆形铁皮制作上口半径为8cm，下口半径为2cm且母线长为36cm的漏斗（不考虑接缝损耗），则最多可作()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(8)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为()(A)2(B)3(C)4(D)5(9)（理）已知F1,F2是椭圆1051102222aayax的两个焦点，B是短轴的一个端点，则ΔF1BF2的面积的最大值为()(A)33100(B)93100(C)100(3-22)(D)221a(文)已知F1,F2是椭圆)20(14222bbyx的两个焦点,B是短轴的一个端点，则ΔF1BF2的面积的最大值为()(A)1(B)2(C)3(D)4（10）ΔABC边上的高线为AD.BD=,aCD=b且ba,将ΔABC沿AD折成大小为的二面角B-AD-C.若bacos则棱锥A-BDC的侧面ΔABC是()(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)形状与ba,的值有关的三角形(11)数列{an}中，a1=1，Sn是前n项和.当n2时，an=3Sn，则nlim311nnSS=()(A)-31(B)–2(C)1(D)-54（12）对于抛物线C:xy42,我们称满足0204xy的点)y,x(M00在抛物线的内部.若点)y,x(M00在抛物线的内部，则关于直线:l)(200xxyy与C()(A)恰有一个公共点(B)恰有两个公共点(C)可能一个公共点也可能两个公共点(D)没有公共点二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13)如果41452)(tg,)(tg，那么)(tg4的值是____________.(14)圆锥与圆柱的底面半径都是,r高都是h.已知它们的侧面积相等,则hr:=_________.(15)双曲线与椭圆22525922yx有相同的焦点又过点（3，-1）,则双曲线的渐近线方程是________.(16)无穷数列{an}同时满足条件：①对于任意自然数n，都有-2an4；②当n为正偶数时，an-1an且anan+1；③当n3时，an0.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式：_____________.三.解答题:本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(理科作)解不等式：02log211log3212xx.(文科作)解不等式：1log35log25xx.(18)(本小题满分12分)在ΔABC中,CBA,,的对边分别为cba,,.若acbAA3,45cos)2(cos2.(I)求)cos(CB的值;(II)设复数)cos()sin(CBiCBz,求1122zz的值.(19)(本小题满分12分)如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为3，且侧面ABB1A1垂直于底面ABC.(I)证明:ABCB1;(II)求三棱锥B1-ABC的体积;(III)求二面角C-AB1-B的大小(文科求其正切值).ACB1A1BC1(20)(本小题满分12分)某地区预计从明年初开始的前x月内,对某种商品的需求总量)(xf(万件)与月份x近似关系为)12,)(235)(1(1501)(xNxxxxxf.(I)写出明年第x个月的需求量)(xg(万件)与月份x的函数关系;(II)求出哪个月份的需求量超过1.4万件,并求出这个月的需求量.(21)(本小题满分12分)设二次函数cbxxxf2)(),(Rcb，已知不论,为何实数,恒有0)(sinf和02)cos(f.(I)求证：b+c=-1;(II)求证：3c;（III）若函数)(sinf的最大值为8，求b,c值.(22)(本小题满分14分)(文科学生只作(I)(II)小题)如图，BC是一条曲线段，点B在直线l上.点C到l的距离等于5,l外一点A到l的距离为2.对于曲线段BC上的任意一点P,总满足3dPA,其中d是点P到直线l的距离.(I)建立适当的坐标系，写出l的方程及点A的坐标，并求出点B,点C的坐标；(II)求出曲线段BC的方程；(III)设另有一定点D，lAD,A、D位于l两侧，且点D到l的距离为a)0(a，求曲线段BC上的点到点D的最近距离.高三数学期末练习参考答案2002．6一．选择题（每小题5分，共60分）(1)D(2)C(3)A(4)B(5)(理)D(文)B(6)D(文)A(7)C(8)A(9)B(10)C(11)A(12)D二．填空题(每小题4分，共16分)(13)223(14)1:3(15)xy(16),)1(2nna2)12(sin2nan;三.解答题(17)本小题满分12分理解：设xt2log,则原不等式等价于.2231tt2分则.0223,01,)223(1,0223,012tttttt或7分CB.Al.341,020289,.34,1,46491,34,12342ttttttttttt或或21.341,2910,34tttt或10分∴2log12x.∴42x∴原不等式的解集是x{42x}12分(文)解:设xt5log,则原不等式化为.032.1322ttttt2分0)1)(23(.0)23(2tttttt6分∴3201tt或.8分∴.10,32log0,10,1log55xxxxxx且或且10分3251510xx或.12分∴原不等式的解集是x3251510xx或}（18）本小题满分12分解:(I)由.45cossin,45cos)2(cos22AAAA得1分∴01cos4cos42AA.∴21cosA.2分∵A是△ABC的内角,32,.3CBA.3分由正弦定理知,23sin3sinsinACB..232cos,232cos2sin2CBCBCB4分由21)cos(,12cos2)cos(2CBCBCB得.6分(II)∵21)cos(CB,.2123,23)sin(izCB8分iiz2321)2123(229分故123211)2321(1122iizz=i2321+i2321-1=0.12分(19)本小题满分12分解：(Ⅰ)证明:在平面B1A内,过B1作B1D⊥AB于D.1分∵侧面BA1⊥平面ABC,∴B1D⊥平面ABC.2分∴∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角,∴∠B1BA=60.3分∵三棱柱的各棱长均为2,∴四边形ABB1A1是菱形.△ABB1为正三角形.∴D是AB的中点,连结CD,在正三角形ABC中,CD⊥AB.∴AB⊥CB1.5分(Ⅱ)解:∵B1D⊥平面ABC,∴B1D是三棱锥B1-ABC的高.由B1B=2,∠B1BA=60,∴B1D=2sin60=3.13222321313111DBSVABCABCB.8分(III)∵△ABC为正三角形,CD⊥AB,CD⊥B1D,∴CD⊥平面ABB1.9分在平面ABB1中作DE⊥AB1于E.连结CE,则CE⊥AB1.∴∠CED为二面角C-AB1-B的平面角.10分在Rt△CED中,CD=2sin60=3.连结BA1交AB1于O,则BO=3,∴DE=21BO=23.∴.2DECDCEDtg∴所求二面角C-AB1-B的大小为arctg2(文科:所求二面角C-AB1-B的平面角的正切值为2)12分(20)本小题满分12分解(I):第一个月需求量为2511)1()1(fg.当2x时,第x个月的需求量为)12(251)1()()(2xxxfxfxg5分当1x时,)1(g也适合上式,∴)(xg)12,)(12(2512xNxxx7分(II)由题设可得:4.1)12(2512xx,解之得44.1)6(,6,,75gxNxx即第六个月需求量超过1.4万件,为1.44万件.12分答:第六个月需求量超过1.4万件,为1.44万件.(21)本小题满分12分(I)∵0)(sin1sin1f且恒成立,∴0)1(f.∵0)cos2(3cos21f且恒成立,∴0)1(f.从而知0)1(f.∴01cb.即1cb.4分(II)由,0)3(,0)cos2(ff知∴.039cb又∵1cb.∴3c.8分(III)∵222)21()21(sinsin)1(sin)(sincccccf,当1sin时,8)](sin[maxf.由.01,81cbcb解得.3,4cb12分(22)本小题满分14分解:(I)以l为y轴,且点A在x轴的正半轴上建立直角坐标系.1分则l的方程为0x,点A的坐标为(2,0).2分由3BA,可求出点B的坐标为(0,5).3分设C点坐标为