北京朝阳区2002届高三理科数学一模试卷

朝阳区高三数学第一次统一练习试卷（理工农医类）2002.4（考试时间120分钟，满分150分）成绩_____________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：三角函数积化和差公式)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos)]cos()[cos(21coscos)]cos()[cos(21sinsin正棱台、圆台侧面积公式：l)c'c(21S台侧其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长。台体的体积公式：h)ss's's(31V台体其中s′、s分别表示上、下底面积，h表示高。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上将该选项涂黑。（1）已知函数x21x)x(f的定义域为M，1x)x(g的值域为N，则（）A．)1,1[NMB．]1,1[NMC．]2,(NMD．NM（2）直线1l：ax+2y-1=0与直线2l：0ay)1a(x2平行，则a的值为（）A．-1B．2C．-1或2D．0或1（3）已知α、β是两个不同的平面，在下列条件中，可判断平面α与平面β平行的是（）A．α、β都垂直于平面yB．a、b是α内两条直线，且a//β，b//βC．α内不共线的三个点到β的距离相等D．a、b为异面直线，且a//α，b//α，a//β，b//β（4）若以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线2cosy2sin21x:C（α为参数）的极坐标方程为（）A．sin21B．ρ=2sinθC．ρ=sinθD．)sin1(221（5）不等式x2x的解集为（）A．{x|-2≤x2}B．{x|-1x2}C．{x|0≤x2}D．{x|x2}（6）函数xcos2xcosxsin2)x(f2的最小正周期为（）A．3πB．2πC．πD．2（7）某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前接下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为21m/a元，顶层由于景观好价格为22m/a元，第二层价格为2m/a元，从第三层开始每层在前一层价格上加价2m/100a元，则该商品房各层的平均价格为（）A．a1.23aa21B．)a1.23aa(23121C．)a31.23aa(23121D．)a9.22aa(23121（8）若奇函数y=f(x)(x≠0)，当x∈（0，+∞）时，f(x)=x-1，则不等式f(x-1)0的解集为（）A．{x|x0或1x2}B．{x|x-1或0x1}C．{x|x-2或-1x0}D．{x|x0}（9）高中一年级8个班协商级建年级篮球队，共需10名队员，若每个班至少出一名，则不同的名额分配方式有（）A．224种B．62种C．36种D．28种（10）如图，三棱台111CBAABC中，上底面111CBA面积为41，侧面11AACC面积为2，点B到上底面111CBA及侧面11AACC的距离均为1，则三棱台111CBAABC的体积为（）A．21B．43C．23D．2（11）已知z∈C，|z|=1，当arg(z-2i)取得最大值时所对应的复数z为（）A．i2123B．i2123C．i2123D．i2321（12）设)0,c(F1，)0,c(F2（c0）是椭圆)0ba(1byax2222的两个焦点，P是以|FF|21为直径的圆与椭圆的一个交点，且1221FPF5FPF，则该椭圆的离心率为（）A．36B．23C．22D．32第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（13）设数列na的前n项和为nnSn2，则nnnnaSLim_____________.（14）已知圆台的体积为28π，高为3，上、下底面半径之比为1：2，则圆台的侧面积为_____________。（15）抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽_____________米。（16）若对n个复数n21，，，存在n个不全为零的实数n21kkk，，，使得0kkknn2211成立，则称n21，，，为“线性相关”，依此规定，能使i22i11321，，“线性相关”的实数321kkk，，依次可以取_____________。（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程式演算步骤。（17）（本小题满分12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等差数列。（Ⅰ）求证：2CAcos22CAcos；（Ⅱ）求2Ctg2Atg的值。（18）（本小题满分12分）解关于x的不等式：)1a)(ax(log)1x(loga22a（19）（本小题满分12分）已知直三棱柱111CBAABC中，直线CA1与面ABC成45°的角，2BCAB∠ABC=90°，E、F分别为AB、11CA的中点。（Ⅰ）求证：EABC1；（Ⅱ）求二面角ECAA1（Ⅲ）求三棱锥ECAF1的体积。（20）（本小题满分12分）在西部，待开发的某地B所需要的汽油要由地处A地的炼油厂从公路运输，已知A、B两地的运输距离为S千米，汽车从A地运汽油到B地往返一次的油耗恰好等于其满载汽油的千克数W，故无法将汽油直接运到B地，为解决问题，决定在途中选定C地建设临时中转油库，先由往返于A、C之间的汽车将油运至C地，再由往返于C、B之间的汽车将油运至B地。（Ⅰ）问汽车每千米耗油多少千克？（Ⅱ）设A、C两地的返输距离为x千米，问一辆汽车往返于A、C之间一次可为中转油库运去多少千克油？（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，问中转油库设在A、B之间何处时，运油率P最大、最大值是多少？[运油率P=（B地收到的油）÷（A地运出的油）]（21）（本小题满分13分）已知动双曲线的右顶点在抛物线1xy2上，实轴长恒为4，又以y轴为右准线。（Ⅰ）求动双曲线的中心的轨迹方程；（Ⅱ）求离心率取最小值时的双曲线方程。（22）（本小题满分13分）已知函数2)1x()x(f，g(x)=4(x-1)，数列na满足2a1，1an，0)a(f)a(g)aa(nnn1n。（Ⅰ）求证：41a43an1n；（Ⅱ）求数列1an的通项公式；（Ⅲ）若)a(g)a(f3b1nnn，求nb的最大项和最小项。参考答案：一、选择题：123456789101112ABDCACBACBCA二、填空题：（13）（理）21，（文）2n；（14）136；（15）62；（16）-4，2，1等等。三、解答题：（17）（Ⅰ）：∵a+c=2b，…………………………（理）2分∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C)，………………（理）4分（文）3分∴2CAcos2CAsin42CAcos2CAsin2。…………（文、理）6分∵02CAsin，∴2CAcos22CAcos………………（文、理）8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得)2C2Acos(2)2C2Acos(，2Csin2Asin22Ccos2Acos22Csin2Asin2Ccos2Acos，…………（文、理）10分∴2Ccos2Acos2Csin2Asin3，∴312Ctg2Atg。……………………（文、理）12分（18）解：（理）原不等式)ax(log2)1x(loga2a……………………2分0ax)ax(log)1x(log2a2a……………………4分01x0ax)ax(1x222………………6分1x1xaxa21ax2或（※）………………9分∵-a-1，又1)a1a(21a21a2，0a21a)a(a21a22，∴aa21a2∴（※）a21axa2，∴解集为}a21axa|x{2。…………12分（文）原不等式)2x(log2)1x(loga2a，……………………2分02x)2x(log)1x(log2a2a（※），……………………………4分a1时：（※）01x02x)2x(1x2221x1x2x45x或45x2………………7分0a1时：（※）01x02x)2x(1x2221x1x2x45x或1x45或x1………………10分综上，a1时，解集为45x2|x；0a1时，解集为1x1x45|x或。………………12分（19）（理）（Ⅰ）证：∵111CBAABC为直三棱柱，∴BB1底面ABC。∵BC面ABC，∴BCBB1。……………………2分又AB⊥BC，BC⊥面11AABB。又EA1面11AABB，∴EABC1。……………4分（Ⅱ）证：∵AA1面ABC，∴CAA1为CA1与面ABC所成的角。∴45CAA1………………………………5分∵2BCAB，∠ABC=90°，∴2AAAC1，22CA1∵AA1面ABC，且AA1面11AACC，∴面ABC⊥面11AACC。过E作EH⊥AC，垂足为H，∴EH⊥面11AACC，过H作CAHG1，垂足为G，连EG，∴CAHG1，∴∠EGH是二面角ECAA1的平面角。………………8分∵△AEH∽△ABC，可求得21AHEH，423HG，∴32HGEHEFHtg。即二面角ECAA1的正切值为32。………………9分（Ⅲ）∵FCAEECAF11VV，…………………………11分由（Ⅱ）知EH⊥面FCA1，∴61S41EH31SEH31V1111AACCFCAECAE。………12分（文）（Ⅰ）同理科（Ⅰ）。（Ⅱ）证：∵AA1面ABC，∴CAA1为CA1与面ABC所成的角。∴45CAA1……………………5分∴2AAACBB11，又BB1面ABC，过B作BH⊥EC，垂足为H，连HB1，∴ECHB1，∴HBB1是二面角BECB1的平面角。………………7分∵△EBH∽△EBC，可求得510BH，∴10BHBBHBBtg11…………9分（Ⅲ）∵1111EBACCEBAVV……………………11分322)2221(31……………………12分（20）（理）解：（Ⅰ）∵AB=S千米，每车载油量为w千克，∴汽车每千米油耗为S2w千克。………………4分（Ⅱ）∵AC=x，∴CB=S-x，∴自A地往返C地一次，汽车油耗为Swxx2S2w千克。……………………6分∴一辆汽车自A地到C地余下的油量为)xS(SwSwxw千克………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）结论可知，为使中转油库得到一车油，必须从A地运出xSSw千克油，从中转油库满载一车油到B地，B地可收到的油为SwxS2w)xS(2w千克………10分∴41S)2xSx(S)xS(xxSSwSwxP222……………………（文）12分当且仅当x=S-x，即S21x地41Pmax。∴当油库设在两地运输道路的中点时运油率P最大，最大值为41……………（理）12分（文）13分（文）（Ⅰ）（Ⅱ）见理科（22）题（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）∵1)43(a1nn，∴]4)43[()43()43(4])43[(bnnn2nn，∴4)43(3b4nnnn，∴43b4