案中高考献题

1、（案中）已知平面上一点C（—1，0）和一条直线xl：=4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，（PCPQ2）（PCPQ2）=0（1）问点P在什么曲线上，求出该曲线的方程。（2）点O在坐标原点，A，B两点在点P的轨迹上，若OBOA（1）OC，求λ的取值范围。解（1）：设P（x，y）∵（PCPQ2）（PCPQ2）=0∴224PCPQ=0，代入得（x+4）2=4（（x+1）2+y2）化简得：13422yx，所以点P在椭圆13422yx上。（2）∵OCOBOA)1(∴移项得BCCA，即CA和BC共线∴A,B,C三点共线∵在椭圆方程中a2=4,b2=3∴c2=1,c=1，Ｃ（-1，0）恰好为椭圆的左焦点，由图形可知当A，B两点分别为椭圆长轴的两个顶点时，BCCA取最值，∵a+c=3,a-c=1∴λmax=31,3mincacacaca∴λ∈[3,31]2、（案中）A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，6zyx），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：①A1：“A、B均取红球”；②A2：“A、B均取白球”；③A3：“A、B均取黄球”.616)(,316)(,216)(321zAPyAPxAP,3623)()()()(321zyxAPAPAPAP36231)(zyxBP（2）由（1）知3623)(zyxAP，0,0,0,6zyxzyx又于是0,6,2136123623)(zyxzxzyxAP当，即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为213、（案中）对于函数()yfx（xD，D为函数的定义域），若同时满足下列条件：①()fx在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[,]abD，使()fx在[,]ab上的值域是[,]ab．那么把()yfx()xD称为闭函数．（１）求闭函数3yx符合条件②的区间[,]ab；（２）判断函数31()4fxxx((0,))x是否为闭函数？并说明理由．（３）若()2fxkx是闭函数，求实数k的取值范围．解：（1）由3yx在[,]ab上为减函数，得33baabab，可得1a，1b，所求区间是[1,1]．（2）∵f＇(x)=2314x=22344xx,∴当2303x时，f＇（x）≤0，f(x)为减函数，当233x时，f＇（x）≥0，f(x)为增函数，∴f(x)在（0，+∞）上不是单调函数。所以()fx不是闭函数。（3）设函数符合条件②的区间为[,]ab，则22akabkb，故a，b是方程2xkx的两个实根，命题等价于22(21)222xkxkxxk有两个不等实根．当2k时，.02)12(22,0)2(4)12(,22122222kkkkk解得94k，9(,2]4k；当2k时，2222212(21)4(2)0(21)20kkkkkkkk这时，k无解．所以k的取值范围是9(,2]4．4、（案中）由原点O向三次曲线)0(323aaxxy引切线，切点为P1),(11yx（O，P1两点不重合），再由P1引此曲线的切线，切于点P2),(22yx（P1，P2不重合），如此继续下去，得到点列：)},({nnnyxP．（1）求1x；（2）求nx与1nx满足的关系式；（3）若0a，试判断nx与a的大小关系，并说明理由．解：（1）由)0(323aaxxy得axxy632/过曲线上的点P1),(11yx的切线L1的方程为))(63()3(11212131xxaxxaxxy又∵切线L1过原点O，有))(63()3(11212131xaxxaxx化得231ax．（2）过曲线上的点),(111nnnyxP处的切线1nL方程为))(63()3(11212131nnnnnxxaxxaxxy1nL过点),(nnnyxP得))(63(331121213123nnnnnnnnxxaxxaxxaxx由于1nnxx，分解因式并约简，得1211211263)(3nnnnnnnnaxxxxaxxxx∴0)(3212112nnnnnnxxaxxxx0)(3)2)((111nnnnnnxxaxxxx∴axxnn321．（3）由（2）得：23211axxnn，∴)(211axaxnn故有数列}{axn是首项为21aax，公比为21的等比数列．∴1)21(2nnaax，∴axnn])21(1[∵0a，∴当n为偶数时，axn；当n为奇数时axn．