2004-2005届高考数学仿真试题(三)(广东)

2004-2005届高考数学仿真试题（三）（广东）命题：廖美东考试时间：2005-4-9本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A、B互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）clS21锥侧如果事件A、B相互独立，那么其中c表示底面周长，l表示斜P（AB）=P（A）P（B）高或母线长如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率334RVknkknnPPCkP)1()(其中R表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P=｛(x,y)｜y=k,Q=｛(x,y)｜y=ax+1,且P∩Q=,那么k的取值范围是A.(－∞,1)B.(－∞,1C.(1,+∞)D.(－∞,+∞)2.已知sinθ=－1312,θ∈(－2,0),则cos(θ－4)的值为A.－2627B.2627C.－26217D.262173.双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于A.35B.－35C.315D.－3154.已知a=(2,1),b=(x,1),且a+b与2a－b平行，则x等于A.10B.－10C.2D.－25.数列121,341,581,7161,…,(2n－1)+n21的前n项之和为Sn，则Sn等于A.n2+1－n21B.2n2－n+1－n21C.n2+1－121nD.n2－n+1－n216.已知非负实数x,y满足2x+3y－8≤0且3x+2y－7≤0,则x+y的最大值是A.37B.38C.3D.27.一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为A.24B.22C.18D.168.若直线x+2y+m=0按向量a=(－1,－2)平移后与圆C：x2+y2+2x－4y=0相切，则实数m的值等于A.3或13B.3或－13C.－3或7D.－3或－139.设F1、F2为椭圆42x+y2=1的两个焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，1PF·2PF的值为A.0B.1C.2D.2110.显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有A.10B.48C.60D.80第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）11.锐角△ABC中，若B=2A，则ab的取值范围是___________.12.一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，右图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是_________.13.随机抽取甲、乙两位同学在平时数学测验中的5次成绩如下：甲8892859491乙9287858690从以上数据分析，甲、乙两位同学数学成绩较稳定的是_________同学.14.给出以下命题：①已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0，且｜1OP｜=｜2OP｜=｜3OP｜=1，则△P1P2P3为正三角形；②已知a＞b＞c,若不等式cakcbba11恒成立，则k∈(0,2);③曲线y=31x3在点(1,31)处切线与直线x+y－3=0垂直；④若平面α⊥平面γ,平面β∥平面γ，则α∥β.其中正确命题的序号是___________.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（本小题满分12分）甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8.(1)如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；(2)如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率.16.(本小题满分12分)已知向量a=(cos23x,sin23x),b=(cos2x,－sin2x),且x∈［2,23］.(1)求a·b及｜a+b｜;(2)求函数f(x)=a·b－｜a+b｜的最小值.17.（本小题满分13分）如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB=AC，F为BB1上一点，D为BC的中点，且BF=2BD.（1）当1FBBF为何值时，对于AD上任意一点总有EF⊥FC1;(2)若A1B1=3，C1F与平面AA1B1B所成角的正弦值为15104,当1FBBF在（1）所给的值时，求三棱柱的体积.18.（本小题满分13分）一条斜率为1的直线l与离心率为3的双曲线2222byax=1(a＞0,b＞0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且OP·OQ=－3,PR=3RQ,求直线与双曲线的方程.19.(本小题满分14分)已知点B1（1,y1）,B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)顺次为直线y=4x+121上的点，点A1（x1,0），A2(x2,0),…,An(xn,0)顺次为x轴上的点，其中x1=a(0＜a＜1).对于任意n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形.(1)求数列｛yn｝的通项公式，并证明它为等差数列；（2）求证：xn+2－xn是常数，并求数列｛xn｝的通项公式.(3)上述等腰△AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若不可能，请说明理由.20.（本小题满分16分）已知函数f(x)=31x3+21(b－1)x2+cx(b、c为常数).(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值.(2)若f(x)在x∈(－∞,x1),(x2,+∞)上单调递增且在x∈(x1,x2)上单调递减，又满足x2－x1＞1,求证：b2＞2(b+2c);(3)在（2）的条件下，若t＜x1,试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明.2004-2005届高考数学仿真试题（三）（广东）参考答案一1.B2.A3.B4.C5.A6.C7.D8.D9.A10.D二11.(2,3)12.B13.乙14.①③三15.设甲投中的事件记为A，乙投中的事件记为B，（1）所求事件的概率为：P=P(A·B)+P(A·B)+P(A·B)=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8=0.94.6分（2）所求事件的概率为：P=C230.72×0.3×C130.8×0.22=0.042336.12分16.（1）a·b=cos23xcos2x+sin23x(－sin2x)=cos23xcos2x－sin23xsin2x=cos(23x+2x)=cos2x.2分a+b=(cos23x+cos2x,sin23x－sin2x)3分∴｜a+b｜=22)2sin23(sin)2cos23(cosxxxx=22cos2x=x2cos4=2｜cosx｜.5分∵x∈［2,23］,∴｜a+b｜=－2cosx.6分（2）f(x)=a·b－｜a+b｜=cos2x－(－2cosx)=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx－1=2(cosx+21)2－23.10分∵x∈［2,23］,∴－1≤cosx≤0,∴当cosx=－21时，［f(x)］min=－23.12分17.（1）由三垂线定理得C1F⊥DF,易证Rt△BDF≌Rt△B1FC1,∴B1F=BD=21BF,∴FBBF1=2.6分（2）在平面A1B1C1中，过C1作C1G⊥A1B1于G，连FG，易证∠C1FG就是C1F与侧面AA1B1B所成的角，8分则有FCGC11=15104,C1G=15104C1F,△A1B1C1中，取B1C1的中点D1，连A1D1，设B1F=x,由C1G·A1B=B1C·A1D1,解得x=1,∴BB1=3,10分∴V1111DCBAABC=21B1G·A1D1·BB1=62.13分18.∵e=3,∴b=2a2,∴双曲线方程可化为2x2－y2=2a2,2分设直线方程为y=x+m,由22222,ayxmxy得x2－2mx－m2－2a2=0.4分∵Δ=4m2+4(m2+2a2)＞0,∴直线一定与双曲线相交，6分设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2m,x1x2=－m2－2a2,∵PR=3RQ,∴xR=4321xx,x1=－3x2,∴x2=－m,－3x22=－m2－2a2,消去x2得，m2=a2,8分OP·OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2－4a2=－3,10分∴m=±1,a2=1,b2=2,直线方程为y=x±1,双曲线方程为x2－22y=1.13分19.（1）yn=41n+121,yn+1－yn=41,∴数列｛yn｝是等差数列，4分（2）由题意得，21nnxx=n,∴xn+xn+1=2n,①xn+1+xn+2=2(n+1),②①、②相减，得xn+2－xn=2,∴x1,x3,x5,…,x2n－1,…成等差数列；x2,x4,x6,…,x2n,…成等差数列，6分∴x2n－1=x1+2(n－1)=2n+a－2,x2n=x2+(n－1)·2=(2－a)+(n－1)·2=2n－a,∴xn=)()(1为偶数为奇数nannan7分（3）当n为奇数时，An(n+a－1,0),An+1(n+1－a,0)所以｜AnAn+1｜=2(1－a);当n为偶数时，An(n－a,0),An+1(n+a,0),所以｜AnAn－1｜=2a,作BnCn⊥x轴于Cn,则｜BnCn｜=41n+121.要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须｜AnAn+1｜=2｜BnCn｜.12分所以，当n为奇数时，有2(1－a)=2(41n+121),即12a=11－3n,(*)当n=1时，a=32;当n=3时，a=61;当n≥5时，方程(*)无解.当n为偶数时，12a=3n+1,同理可求得a=127.综上，当a=32,或a=61或a=127时，存在直角三角形.16分20.（1）f′(x)=x2+(b－1)x+c,由题意得，1和3是方程x2+(b－1)x+c=0的两根，∴,31,311cb解得.3,3cb4分（2）由题得，当x∈(－∞,x1),(x2,+∞)时，f′(x)＞0x∈(x1,x2)时，f′(x)＜0,∴x1,x2是方程x2+(b－1)x+c=0的两根，则x1+x2=1－b,x1x2=c,7分∴b2－2(b+2c)=b2－2b－4c=［1－(x1+x2)］2－2［1－(x1+x2)］－4x1x2=(x1+x2)2－4x1x2－1=（x2－x1)2－1,∵x2－x1＞1,∴(x2－x1)2－1＞0,∴b2＞2(b+2c).9分（3）在（2）的条件下，由上一问知x2+(b－1)x+c=(x－x1)(x－x2),即x2+bx+c=(x－x1)(x－x2)+x,12分所以，t2+bt+c－x1=(t－x1)(t－x2)+t－x1,=(t－x1)(t+1－x2)，14分∵x2＞1+x1＞1+t,∴t+1－x2＜0,又0＜t＜x1,∴t－x1＜0,∴(t－x1)(t+1－x2)＞0,即t2+bt+c＞x1.16分