08高考数学复习的几点思考

新高考高三数学复习的几点思考（江苏省教育学会高考信息研究会）2008年3月15日一．首先，必须让学生知道新高考考什么？新高考来了，尽管大家对新高考有这样那样的看法，但是我们还是必须面对它，研究它.为了让学生知道新高考考什么,对于教师来说，必须研究新高考的指导思想是什么?研究课程改革的理念,研究新高考与课程改革的关系，研究新高考与原高考的区别等等,从而明确新高考考什么.高考的方式,高考的内容可以变,但是用数学的思想,数学的方法去培养学生的能力这一数学教育目的没有变,因此,在数学高考的复习中,用数学的思想,数学的方法去提高学生的数学思维能力还是数学复习的基本方法，基本指导思想.二．让学生的解题思维有数学思想的指导解题必须有思想的指导,也就是说,数学解题的基本方法是具有思想性的.数学的思想是数学基本方法的灵魂.在数学复习中，有意识地揭示这些数学基本方法中所隐含的数学思想,在数学学习活动中形成一些数学的观点；在数学知识结构的形成、完善过程中，有意识地用数学的观点去观察、分析数学问题，不断地获取、积累、深化这些数学的观点，使这些数学的观点能够在数学思维中升华为数学意识,从而就能从根本上提高思维能力,提升思维层次,提高数学能力,这是数学学习的有效方法之一,也是数学学习的目的.例1．已知4cba,4cabcab,求222cba的值.分析(1)cba,cabcab,222cba在公式2)(cba222cbacabcab222中是联系在一起的,由此,我们可以下面的解法.解法(1)∵2)(cba222cbacabcab222,∴222cba=2)(cba）（cabcab2=4242=8.分析(2)显然由4cba和4cabcab要分别解出cba，，的值是不可能的,但是,我们可以利用4cba和4cabcab消去222cba中的变元,从而得222cba的值,也就是说,消元就是解这个问题的指导思想,而且,消元在代数式的求值中具有一般的指导意义.解法(2)∵4cba,4cabcab,∴cba4,）（44ccab,∴222cba=222cabba）（=22]44[24cccc）（）（=222828816ccccc=8.例2.设Rba,，求证：baabba122.证明方法(一):=)1(22abba)(ba=32)31(43)2121(22bba(1)0故baabba122成立.证明方法(二)=)1(22abba)(ba=1)1(22bbaba∴)1(4)1(22bbb=3232bb=38)31(32b0故baabba122成立.问题:①表达式(1)是如何冒出来的?②证明方法(一)与证明方法(二)有什么关系?例3．化简：222222sinsinsinsincoscos.分析:这是一个极容易的化简题,学生很可能盲目地获得结果.我们要问:解本题的指导思想是什么?先看下面两个解法:解法(一):原式=22222coscossinsin1sin）（=22222coscossincossin=2222sincossincos）（=22sincos=1解法(二):原式=222222sinsinsinsin(1sin)(1sin)=22222222sinsinsinsin1sinsinsinsin=1说明:证明方法(一)中将被化简式的表达形式与公式挂钩不容易,因此，这一种方法的技巧性较强.证明方法(二)的指导思想是:“消元”.我们又要问:消元的方法是什么?回答是:①减少三角函数名称,②减少角的表达形式.由证明方法(二)的指导思想还可以获得以下证明方法:解法(三)原式消元成只含22coscos、的表达式而被化简.原式=222222coscoscos1cos1cos1cos1））（（=22222222coscoscoscoscoscos1cos1cos1=1解法(四)原式消元成只含2cos2cos、的表达式而被化简.原式=22cos122cos122cos122cos122cos122cos1=cos2cos241cos241cos24141cos221cos22112cos2cos412cos4124141co=1例4．已知圆22:(3)(4)4Cxy，直线1l过定点A(1，0)．（1）若1l与圆相切，求1l的方程；（2）若1l与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又1l与2:220lxy的交点为N，判断AMAN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.(1)解：①若直线1l的斜率不存在，即直线是1x，符合题意．②若直线1l斜率存在，设直线1l为(1)ykx，即0kxyk．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l的距离等于半径2，即：23421kkk，解之得34k.所求直线方程是1x，3430xy。(2)解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为0kxyk由2200xykxyk得223(,)2121kkNkk．又直线CM与1l垂直，由14(3)ykxkyxk得22224342(,)11kkkkMkk．∴222222224342223(1)()(1)()112121kkkkkkAMANkkkk2222|21|31161|21|kkkkk为定值.故AMAN是定值，且为6.解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为0kxyk.由2200xykxyk得223(,)2121kkNkk．再由22(3)(4)4ykxkxy得2222(1)(286)8210kxkkxkk．∴12222861kkxxk得22224342(,)11kkkkMkk．以下同解法一．解法三：用几何法，如图所示，△AMC∽△ABN，则AMACABAN，可得32565AMANACAB，是定值．说明:显然,由于应用了平面几何知识,解法（三）比解法(一)、解法(二)简洁.例5．双曲线)0,0(12222babyax的离心率为3，A、F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，交y轴于R点，AP、AQ分别交右准线于M、N两点.(1)若QFRQ5，求直线l的斜率；(2)证明：M、N两点的纵坐标之积为234a.解:（1）解：设),(),,(2211yxQyxP，∵双曲线的离心率为3，∴abac2,3，双曲线方程为22222ayx，∵QFRQ5，∴cx652，∵直线l为()ykxc,∴62cky，∵点Q是双曲线上一点，∴2222)6()65(2ackc，整理得，,23613650222kee解得26k.（2）证明：设),,(),,(2211yxQyxP由题设可知:直线AP的方程为11()yyxaxa,直线AQ的方程为22()yyxaxa.∴211Myayaxac（），222()Nyayaxac∴222212121222211)()()(acaaxxaxxyyacaaxyaxyyyNM，由222()22ykxcxya，，得022)2(222222ackcxkxk∴22,222222212221kackxxkckxx，222])([))((222222121221221kcakcxxcxxkcxcxkyy，2)()(22222121kcakaxxaxx∴222222234)()()(2accaacacayyNM.（k不存在要作特殊处理）例6．(扬州市2008届高三第二次调研测试)已知圆C：012222yxyx，直线kxyl:，且直线l与圆C交于QP,，点),0(bM满足MQMP.(1)当1b时,求k的值;(2)若3k,求b的取值范围.解：（1）当1b时,点),0(bM在圆上，故当且仅当直线l过圆心C时满足MQMP，∵圆心C的坐标为（1，1），∴1k.设),(),,(2211yxQyxP,由kxyyxyx,012222消去y可得,01)1(2)1(22xkxk,2211)1(2kkxx,221!1kxx,∵MQMP,∴0MQMP,∴0),(),(2211byxbyx,0),(),(2211bkxxbkxx,即0)()1(221212bxxkbxxk,∴0!)1(2!1)1(2222bkkkbkk,0)1()1(2)1(222bkbkkk方法(1)对k进行整理012)1(222bbkkb,3)1(2)1()1(22222bbbbbk方法(2)对k进行整理012)1(222bbkkb,令)(kf12)1(222bbkkb,则函数)(kf的图象与k轴在),3(上有公共点,若1b,则),3(1k,故1b不可取.故∴0)3(f或0)3(,3)1(2fbb或.0)3(,3)1(,0)1()1(442222fbbbbb016)1(922bbb或016)1(9,3)1(222bbbbb或.016)1(9,3)1(,0)1()1(44222222bbbbbbbb显然,方法(1)和(2)不易求解.方法(3)由0)1()1(2)1(222bkbkkk得,2!)1(21kkkbb)3(k①令2)1(1221)1(2)1(21)1(2)(2222kkkkkkkkkg2121122121122kkkk(21k)∴3121kk,52121kk,51212110kk,522121120kk,51221211222kk∴25121bb,解得,15116b或51161b②令21)1(2)(kkkkg,则)3(0)1(242)(222'kkkkkg∴21)1(2)(kkkkg在),3(上为单调减函数,∴512)3()(gkg∵21)1(2)(kkkkg=)(211222kkk∴2512)(kg,25121bb,解得,15116b或51161b例7．苏、锡、常、镇四市2007年第二次模拟考试题(题20)已知点CBA，，都在椭圆12222byax（0ba）上，ACAB,分别过两个焦点21,FF，当021FFAC时，有212191AFAFAF成立.(1)求此椭圆的离心率;(2)设BFmAF11,CFnAF22,当点A在椭圆上运动时,求证:nm始终是定植.分析:本题是一个求值的问题.在高中数学中,求值的一般方法是:一是给出未知量的方程,解这个方程得值,题(1)可用这一思想;二是给出未知量的函数表达式,对表达式消元得值,题(2)可用这一思想.题(2)给出未知量的函数表达式的方法有两种:(1)解:当021FF