矿产资源的管理模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、

矿产资源的管理模型基于优化商业利润与生产可持续的角度来研究主要讨论以下几个模型：1、开发会枯竭资源的泛函最大值模型2、矿业的非线性模型3、有采掘成本的最优控制模型重点确定最优开发速度以及税金等所建立的数学模型主要用到微分方程和泛函变分的最大值原理其建模思想和原理对其它可枯竭或可再生资源亦适用。1、开发会枯竭资源的泛函最大值模型令为t时刻的贮量，初始贮量为是已知的，表示采掘率，于是矿物贮量的数学模型是线性微分方程的哥西问题:()xxt(0)0xR()qqt其中max()0,0()xtqtqdd(0)xtxR＝－q(t)(1)(2)设矿石价格为是已知的，经营者的目标是使收益现值最大，设贴现率为，则时刻t的收益满足()ppt0()yt0dd(0)ytyy＝y其中即现值，解得，故值，对于上述开矿问题，其总现值PV为0y0tyye0()tyeyt0[()]()()dtPVqteptqtt(3)[()]PVqt我们需要确定，以使总现值最大。这样把问题转化成了求泛函的最大值问题。()qt考虑哥西问题0100d(,,()),[,]d()xfxtutttttxtx＝（4）（5）其中是已知的三元连续函数，称为状态变量，（4）、（5）为状态方程.对于每个给定的函数，（4）、（5）的解称为的一个响应，这里是区间上的分段连续函数集合.(,,)fxtu()xxt()ut()xt()ut(),utUU00[,]tt其中是已知连续可微函数，最优控制理论中的核心问题是求使最大的所谓可行控制，如果这样的可行控制存在，则称其为最优控制。(,,)gxtu[]Ju()ut()ut设，且设终点是固定的，而起点是可变的，设是最优控制，即11()xtx11(,)tx00(,)tx()ut函数称为最优获利函数。00(,)wxt10[]((),,())d,ttJugxttutt(6)*00[]max[](,)uUJuJuwxt（7）引入的泛函()ut在整个区间的最优控制策略对划分的各个子区间也分别是最优的对（8）式进行计算得ddt******((),)((),,())((),)((),,()),(9)wxttfxttutwxttgxtsusxx***((),)((),,())dwxttgxtsutdt即由（7）可得()xxt()ut其中是与最优控制对应的最优轨线，公式（8）指出下面的最优性原理：0***00(,)((),,())d((),)ttwxtgxssusswxtt（8）00*01(),,()(),vvtttttututtttt00*0000(,)[][](,,)d((),)ttvvtwxtJuJugxsvswxtttt上式两端除以且令取极限得t0t000((),)(,)vttdwxttgxtvdt000000((),)(,)(,,)dttvvtwxttttwxtgxsvs即考虑任意函数，定义控制为vU()ut其中是对应于起点的最优控制，是对的响应，于是()vut00(,())vttxttvxv用代替变点得(,)xt00(,)xt令(,,)(,)(,,)(,)(,,)Gxtvwxtfxtvwxtgxtvxt固定,由(11)得()xxt(,)(,,)(,)(,,)wxtfxtvwxtgxtvxt(10)则有(,,)0,((),,())0GxtvGxttut(11)max((),,)((),,())vUGxttvGxttut(12)由(11),当时,达到它的最大值,在足够光滑的条件下()xxt((),,())Gxttut2220((),,())((),)((),,())Gxttutxwfwgwxttfxttutxxxxtx令()((),)twxttx(13)(,,,)(,,)(,,)Hxtugxtufxtu(14)故由(12)得**max((),,,())((),,(),())vUHxttvtHxttutt(15)其中右端的自变量皆为,由的定义((),,())xttut()t222((),)((),,())dwwxttfxttutdtxxt称为哈密顿函数,为伴随变量,上述推导得到下面的重要结论((),(),())Hxtutt()t于是有dfgHdtxxx(16)最大值原理：对于满足边条件的状态方程0011(),()xtxxtx12(,,()),[,]dxfxtuttttdt使目标泛函12()((),,())dttJugxtsutt取最大值的最优控制和相应的最优响应满足伴随方程：()uut()xxt()((),,(),())((),,())((),,())()dtHxttuttdtxgxttutfxttuttxx(16)**((),,(),())max((),,,())vUHxttuttHxttvt和(15)要确定的最优控制和最优响应可由及伴随方程和状态方程解出。()ut()xt0Hu例如对于矿产资源管理工作线性模型(1)(2)(3)，其哈密顿函数是由伴随方程得0dHdtx()()()()[()()]()ttHeptqttqtepttqt(17)所以，假设到时矿产采完，则()tconst()0,()()0tTxTHeqT,因此()tepTT为使哈密顿函数达到最大，则得（18）式给出了为使采矿收益的现值最大采用的最优采掘率。即当矿产价格超过时，用采掘率去开采，否则停产，出现若干生产时期，则满足，其中，见图2.1()tepTmaxq0123[,],[,],TTTT…maxiqTR1,1,2iiiTTTi，…()*()max0,()()(),()()ttTttTpteepTqqtqpteepT(18)00T1T2T3Ttq图2.1()pt()()tTepT元$00T1T2T3Tt2、矿业的非线性模型若价格受采掘率的影响，,则与（3）对应的目标泛函为()ppq0[]()(())dtJqeqtpqtt以及条件(),(0),()0,()0dxqtxRxtqtdt哈密顿函数是()[()]ttHeqpqqepqq设()0xT,对,()0tTqt]))(()())(([dqTqdpTqTqpeT（22）又，故得0)(Tq(())(0)TTepqTep（23）设价格随采掘率之提高而线性下降()qTbqaqP)(由最大值原理()[()]0tHdpqepqqqdq由伴随方程式，所以const()()(1)2tTapqabqe相应于最优控制采掘率，价格q[()]tHeabqq则由（20）得()()0,(1)2tttTaeabqbeqqeb由最大值原理，为使取最大值，即0HqH()(1)TTTdTeeedtT由（24）解出，由于，故当时单调上升，所以满足（24）的T，即采完日期是唯一存在的。0TTeT()0()0(1),21[),22,TtTtTTTaedtRbaTeRbRbaTea采掘日起T满足（24）3、有采掘成本的最优控制模型最大0[]()()((),)tJqeptqtcqttdt设采掘成本，且是的增函数，即采掘越快，成本越高，这时要求最优控制，使得(,)ccqtqq（25）由伴随方程得0dHdtx[()()]()((),)ttHepttqtecqtt相应的哈密顿函数为对于任固定的，在为变量的坐标系上（见图），是（26）的唯一正数解，如果曲线与相交，这种正数解存在，注意这里的已固定，视为常数了。(())typteqtq()qt(,)cqtt()()0,(,)(),tttceptteqcqtpteq.const0Hq由最大值原理，，即(26)唯一的正数解是的斜率为点的横坐标，如果与只一个公共点，则()Aqt(,)ycqt()tpte(,)ycqt()typteOBqOyqo(())typteqBA(,)cqt*Bq*Aq如果多家竞争开发一种矿藏，设有家厂商组成的采矿业，第家的成本为是第家厂商的采掘率，则第家厂商的目标泛函为niii(),()iiiiccqqt0[][()]tiiiiiJqepqcqdt（27）tiiicpeq于是有（28）是第厂商的开采上限；又由市场平衡知1()(())niiptpqt（30）iiR(28)(29)(30)中共有2n+1个未知量有2n+1个方程，可从中解得各自的最优控制(),(),,iiqttp()iqt0()iiqtdtR以及（29）设成本为是常数，时表示价格补贴率，时表示税率，则目标函数为(),ccq000[][()()]tJqepqcqdt（31）由最大值原理可以导出(())tcpteq（32）最后讨论有价格补贴或税金的情形如果成本则由（32）得2()cqaqrq又由于到时刻T开采完毕，由得()()tcqpteq*2(()),.()(1),2ttarqpteconstptaqer（33）(())TpTae（34）采完日期可由公式0()TqtdtR确定，如果价格则由（36）式知税金越重T越大，补贴越多越小，即价格补贴可以加速矿物的采掘，缩短采掘日期，税收则可以减少采掘量，延长采掘日期；加大征税，可以保护矿藏资源.,Pconst()()(1),2tTPaqter(0)(33)代入(34)得最优控制()()()()22tTptaPTaqterr（35）