拉格朗日中值定理的应用毕业论文(1)

================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~1~拉格朗日中值定理的应用毕业论文(1)本科毕业论文设计题目：拉格朗日中值定理的应用学生姓名：任雯蕾学专号：201000820223业：信息与计算科学指导教师：范进军学院：数学科学学院12014年5月8日1毕业论文内容介绍论文题目选题时间拉格朗日中值定理的应用论文字数2013—11—25完成时间2014—5—88000关键词拉格朗日中值定理、应用、极限、收敛论文题目的来源、理论和实际意义：以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学地理论基础，而拉格朗日中值定理是这几个中值定理中最重要的一个，具有中值性，在================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~2~微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数取极值、单调性、拐点、凹凸性等多项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以把握函数图像的各种几何特征。总之，微分中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，将对其应用进行了深入的总结。论文的主要内容及创新：课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，因而================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~3~对拉格朗日中值定理的理解进行了深入的分析，介绍了它的几种证法，并在此基础上就拉格朗日中值定理的应用进行了系统的总结。附：论文本人签名：任雯蕾2014年5月8日2目录中文摘要................................................................1英文摘要................................................................2引言....................................................................3一、拉格朗日中值定理及其证明.............................................31.定理内容................................................................32.定理意义...............................................................33.定理证明...............................................................4二、拉格朗日中值定理的应用..............................................41.利用拉格朗日中值定理证明不等================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~4~式.....................................52.利用拉格朗日中值定理证明等式..........................................63.利用拉格朗日中值定理求极限.............................................74.利用拉格朗日中值定理判别级数敛散性....................................86.利用拉格朗日中值定理估值..............................................97.利用拉格朗日中值定理延吉函数性态..................................108.利用拉格朗日中值定理判断根的存在性................................12三、结束语.............................................................14拉格朗日中值定理的应用引言：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分学的重要的和基本的定理,所以统称微分中值定理，以拉格朗日中值定理作为中心，它们之间的密切关系可用示意图表示如下：特例推广罗尔定理拉格朗日================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~5~定理柯西定理泰勒公式以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，特别是拉格朗日中值定理。因为它建立了导数值与函数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数从而研究出函数的性态。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、凹凸性、拐点、取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以准确的把握函数图像的各种几何特征。总之，微分中值定理是沟通函数值与导数值之间的重要桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，这是十分必要的。6一、拉格朗日中值定理及其证明1.定理内容：若函数f?x?满足如下条件：?1?在闭区间?a,b?上连续；?2?在开区间?a,b?内可================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~6~导；则在?a,b?内至少存在一点?，使f’????2.几何意义：函数y?f?x?在区间?a,b?上的图形是连续光滑曲线弧AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB。如图?f?b??f?a?。b?a3.定理证明：教材证法从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若f?x?在闭区间?a,b?两端点的函数值相等，即f?a??f?b?，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理f?a??f?b?,则在?a,b?内至少存在一点?,使得f’????0）。换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。所以，我们只须对函数f?x?作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.f?b??f?a?x证明：作辅助函数F?x??f?x??b?a7显然，函数F?x?满足在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，而且F?a??F?b?．于是罗尔中值定理知道，至少存在一点??a???b?，使f?b??f?a?f?b??f?a??0.即f’????.b?ab?a用================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~7~作差法引入辅助函数法F’????f’????f?b??f?a??证明：作辅助函数??x??f?x???f?a??，?x?a???b?a??显然，函数??x?在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，??a????b??0。因此，罗尔中值定理得，至少存在一点???a,b?，使得?’????f’????即f’????二、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求极限、证明级数收敛、研究函数在区间上的性质、估值等问题。1.利用拉格朗日中值定理证明不等式例1当x?0时，证明f?b??f?a??0，b?af?b??f?a?b?ax?ln?1?x??x。1?x证明：做辅助函数f?t??ln?1?t?。???上可导，函数f?t?在定义域?-1，故对于?x0,有f?t??ln?1?t?在闭区间?0，x?上连续，在开区间?0，x?上可导。则至少存在一点???0，x?，使得================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~8~f?x??f?0?=f?????x?0?=x。1??x,1??而f?0??0，?f?x??当x0时，有xxxx???x，?x，即1?x1??1?x1??又当x?0时，有x?f?x??x，1?x8x?ln?1?x??x得证。1?x对于证明不等式，关键怎样构造函数，其后巧用拉格朗日中值定理，画龙点睛恰到好处。所以例2已知0?-???-??tan??tan?，证明。?22cos?2cos????证明：做辅助函数f?x??tanx,x??0,?。?2?1???于函数f?x??tanx在?0，?上连续可导，且f??x??，2cosx?2?于是当0?时，f?x?在闭区间内可导，2即满足拉格朗日中值定理的条件。所以?????，??，使得f????f????f?????????。?有tan??tan?????。2cos?又?cos2x?1?cos2x???在?0，?上单调递减，2?2?所以当0?时，有0综上所得当0拉格朗日定理的应用使本题简化了计算量，对于构造函数也比================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------~9~较简单，其优势表现的淋漓尽致。2.利用拉格朗日中值定理证明等式12x?arctgx?arccos?(x?1)恒等。例3证明221?x412x??(x)?arctgx?arccos?(x?1)，证明：令221?x49则在(x?1)时arccos2x有意义，且21?x11?’(x)??1?x2211?(1x2?)x2x222(?1x)2x21?()21?x11?x22(1?x2)=?0。22221?xx?1(1?x)在x?1时，?(x)?c。?1???，又取(1,??)内任一点，如3，有?(3)??326