1.4角平分线(1)

1.4角平分线（1）（一）知识回顾1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.oBCA12符号语言：∵射线OC是∠AOB的角平分线∴∠1=∠2（一）知识回顾2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.OPAB垂线段PO的长度在纸上任意画一个∠BAC，把这个角对折，使角的两边AB与AC重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为AD.你发现∠BAC是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？CBAD活动一：结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.探究角的轴对称性（二）探究新知做一个任意角的角平分线，在角平分线上任意取一点P，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点M，N，比较PM与PN的大小，你有什么发现？说明你的理由.结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.探索角平分线的性质（二）探究新知活动二：CBMAPND已知：AD是∠BAC的角平分线点P是AD上任意一点，PM⊥ABPN⊥AC求证：PM=PNCBMAPND12证明：∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵PM⊥ABPN⊥AC∴∠AMP=∠ANP=90º在△AMP与△ANP中∵∠1=∠2∠AMP=∠ANPAP=AP∴△AMP≌△ANP（AAS）∴PM=PN角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等.CBMAPND应用时所具备的条件：（1）AD为角的平分线；（2）点P在该平分线上；（3）PM⊥ABPN⊥AC应用：判断线段相等符号语言：∵AD平分∠BACPM⊥ABPN⊥AC∴PM=PN判断正误，并说明理由：1.如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，D、E分别在OA、OB上，则PD=PE()2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PE=PF.()3.如图，在∠AOB的角平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.()AOBCDEPPEDCBOA测试:（1题）（2题）（3题）×√×活动三：（二）探究新知你能写出“定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题吗?逆命题在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.老师期望:你能写出规范的证明过程.已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析:要证明点Q在∠AOB的角平分线上,可以先作出过点Q的射线OQ,然后证明∠QOD＝∠QOE证明:如图，作射线OQ∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．角平分线的判定在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.应用所具备的条件：（1）点P在∠BAC的内部；（2）PM⊥ABPN⊥AC；（3）PM=PN应用：判断点是否在角平分线上符号语言：∵PM⊥ABPN⊥ACPM=PN∴点P在∠BAC的角平分线上∴∠1=∠2CBMAPND12例：如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长。解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）。又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠BAD=30°，AD=10.∴DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。2121已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足．求证：AD垂直平分EF．ABCDEF变式拓展驶向胜利的彼岸（三）达标测试1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则M到OB的距离为㎝。3.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，PA=2.Q是边OM上的一个动点,则线段PQ的最小值（）A．1B.2C.3D.4AMONPQ2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是∠ABC的，AE+DE=。1.5角平分线6cmB（四）课堂小结：1、角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴.2、定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3、定理：在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.结束寄语•严格性之于数学家,犹如道德之于人.•证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!