直线与平面的垂直的判定和性质

典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）．A．过直线外一点作与该直线垂直的直线B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点A、平面，过点A有两条直线AB、AC都垂直于，由于AB、AC为相交直线，不妨设AB、AC所确定的平面为，与的交线为l，则必有lAB，lAC，又由于AB、AC、l都在平面内，这样在内经过A点就有两条直线和直线l垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）．A．（1）、（2）B．（2）、（3）C．（3）、（4）D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111DCBAABCD中，FE、分别为棱1AA和1BB上的点，G为棱BC上的点，且1BBEF，EGFC1，求FGD1．典型例题三例3如图，在正方体1111DCBAABCD中，E是1BB的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE平面1ACD．分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明OE平面1ACD，只要在平面1ACD内找两条相交直线与OE垂直．证明：连结DB1、DA1、BD，在△BDB1中，∵OE、分别是BB1和DB的中点，∴DBEO1//．∵11AB面DDAA11，∴1DA为1DB在面DDAA11内的射影．又∵DAAD11，∴11DBAD．同理可证，CDDB11．又∵111DCDAD，1AD、CD1面1ACD，∴DB1平面1ACD．∵EODB//1，∴EO平面1ACD．另证：连结CEAE、，OD1，设正方体1DB的棱长为a，易证CEAE．又∵OCAO，∴ACOE．在正方体1DB中易求出：aaaDODDOD2622222211，aaaOBBEOE232222222，aaaEBBDED232222212111．∵21221EDOEOD，∴OEOD1．∵OACOD1，OD1、AC平面1ACD，∴OE平面1ACD．说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四例4如图，在△ABC中，90B，SA平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为NM、，求证：SCMN．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MNSC，可证SC面AMN，为此须证ANSC，进而可转化为证明AN平面SBC，而已知SBAN，所以只要证BCAN即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明：∵SA面ABC，BC平面ABC，∴BCSA．∵90B，即BCAB，ASABA，∴BC平面SAB．∵AN平面SAB．∴ANBC．又∵SBAN，BBCSB，∴AN平面SBC．∵SC平面SBC，∴SCAN，又∵SCAM，AANAM，∴SC平面AMN．∵MN平面AMN．∴MNSC．另证：由上面可证AN平面SBC．∴MN为AM在平面SBC内的射影．∵SCAM，∴SCMN．说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知SA⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C为⊙O上任意一点（C与BA、不重合）．过点A作SB的垂面交SB、SC于点NM、，求证：SCAN．典型例题五例5如图，AB为平面的斜线，B为斜足，AH垂直平面于H点，BC为平面内的直线，ABH，HBC，ABC，求证：coscoscos．分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．证明：过H点作HD垂直BC于D点，连AD．∵AH，∴AD在平面内射影为HD．∵HDBC，BC，∴ADBC．在Rt△ABH中有：BABHcos①在Rt△BHD中有：BHBDcos②在Rt△ABD中有：BABDcos③由①、②、③可得：coscoscos．说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的范围为2，．典型例题六例6如图，已知正方形ABCD边长为4，CG平面ABCD，2CG，FE、分别是ADAB、中点，求点B到平面GEF的距离．分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点B与平面GEF平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．证明：连结ACBD、，EF和BD分别交AC于OH、，连GH，作GHOK于K．∵ABCD为正方形，FE、分别为ADAB、的中点，∴BDEF//，H为AO中点．∵EFBD//，BD平面GFE，∴//BD平面GFE．∴BD与平面GFE的距离就是O点到平面EFG的距离．∵ACBD，∴ACEF．∵GC面ABCD，∴EFGC．∵CACGC，∴EF平面GCH．∵OK平面GCH，∴OKEF．又∵GHOK，HEFGH，∴OK平面GEF．即OK长就是点B到平面GEF的距离．∵正方形边长为4，2CG，∴24AC，2HO，23HC．在Rt△HCG中，2222CGHCHG．在Rt△GCH中，11112HGGCHOOK．说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长CB交FE的延长线于M，连结GM，作MEBP于P，作CGBN//交MG于N，连结PN，再作PNBH于H，可得BH平面GFE，BH长即为B点到平面EFG的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七例7如图所示，直角ABC所在平面外一点S，且SCSBSA．(1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD面ABC；(2)若直角边BCBA，求证：BD面SAC．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．证明：(1)在等腰SAC中，D为AC中点，∴ACSD．取AB中点E，连DE、SE．∵BCED//，ABBC，∴ABDE．又ABSE，∴AB面SED，∴SDAB．∴SD面ABC（AB、AC是面ABC内两相交直线）．(2)∵BCBA，∴ACBD．又∵SD面ABC，∴BDSD．∵DACSD，∴BD面SAC．说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．典型例题八例8如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．已知：ba//，a．求证：b．分析：由线面垂直的判定定理知，只需在内找到两条相交直线与b垂直即可．证明：如图所示，在平面内作两条相交直线m、n．∵a，∴ma，na．又∵ab//，从而有mb，nb．由作图知m、n为内两条相交直线．∴b．说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．典型例题九例9如图所示，已知平面平面=EF，A为、外一点，AB于B，AC于C，CD于D．证明：EFBD．分析：先证A、B、C、D四点共面，再证明EF平面ABCD，从而得到EFBD．证明：∵AB，CD，∴CDAB//．∴A、B、C、D四点共面．∵AB，AC，EF，∴EFAB，EFAC．又AACAB，∴EF平面ABCD．∴BDEF．说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“A、B、C、D四点共面”非常重要，仅由EF平面ABC，就断定BDEF，则证明是无效的．典型例题十例10平面内有一半圆，直径AB，过A作SA平面，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影．(1)求证：SBNH；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连AM、BM．如上图所示，∵AB为已知圆的直径，∴BMAM．∵SA平面，BM，∴MBSA．∵ASAAM，∴BM平面SAM．∵AN平面SAM，∴ANBM．∵SMAN于N，MSMBM，∴AN平面SMB．∵SBAH于H，且NH是AH在平面SMB的射影，∴SBNH．解(2)：由(1)知，SA平面AMB，BM平面SAM，AN平面SMB．∵AHSB且HNSB，∴SB平面ANH，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA平面AMB，∴SAB、SAM均为直角三角形．∵BM平面SAM，∴BAM、BMS均为直角三角形．∵AN平面SMB，∴ANS、ANM、ANH均为直角三角形．∵SB平面ANH，∴SHA、BHA、SHN、BHN均为直角三角形．综