武汉中学高二下学期数学总复习试题(6)

武汉中学高二下学期数学总复习试题(6)武汉中学柏任俊一、选择题：1.已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥ABCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．4aB．66aC．612aD．28a2.如图所示是一个的5×4×4的长方体，上面有2×1×4、2×1×5、3×1×4穿透的三个洞，那么剩下部分的体积是（）A．50B．54C．56D．583.已知线段AD//平面，且与平面的距离等于4，点B是平面内动点，且满足AB=5,AD=10,则B、D两点之间的距离（）A.有最大值55，无最小值B.有最小值65，无最大值C.有最大值55，最小值65D.有最大值185，最小值654.（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）3+10（x-1）2+5(x-1)等于（）A．5xB．51xC．51xD．5(1)1x5.使得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn＜2003不成立的最小的正整数n的值为（）A、11B、10C、9D、86.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰好比赛一场，但有3名选手各自比赛了2场就退了下来，这样，全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是（）A．0B．1C．2D．37.已知直线01byax(ba,不全为0)与圆5022yx有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有（）A.66条B.72条C.74条D.78条8.要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别分层随机抽样，试问组成课外兴趣小组的概率是（）A．61525410CCCB．61535310CCCC．615615ACD．61525410AAC9.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）A．451435CCCB．)94()95(3C．4153D．)94()95(314C10.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f′(x)的图象可能为（）二、填空题：11.在正方体''''DCBAABCD中，过对角线'BD的一个平面交'AA于E，交'CC于F，则：①四边形EBFD'一定是平行四边形；②四边形EBFD'有可能是正方形；③四边形EBFD'在底面ABCD内的投影一定正方形；④四边形EBFD'有可能垂直于平面DBB'.以上结论正确的是.（写出所有正确结论的编号）12.正四棱锥P－ABCD的底面ABCD在球O的大圆面上，顶点P在球面上，已知球的体积为323，则正四棱锥P－ABCD的体积的最大值为.13.已知nx)21(的展开式中，所有项的系数之和等于81，那么这个展开式中3x的系数是.14.从装有1n个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球0,,mnmnN,共有1mnC种取法。在这1mnC种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有01101111mmmnnnCCCCCC，即有等式：11mmmnnnCCC成立。试根据上述思想化简下列式子：1122mmmkmknknknknCCCCCCC.(1,,,)kmnkmnN.15.有一组数据：nxxxx,,,321)(321nxxxx的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11，第一个数1x关于n的表达式是__________，第n个数nx关于n的表达式是___________.16.设函数f(x)=k3x+3(k-1)2x2k+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是.三、解答题：17.在三棱柱'''ABCABC中，侧面''CBBC底面',60,90ABCBBCACB，且'CBCCCA.（1）求证：平面'ABC平面''ACB；（2）求异面直线'AB与'AC所成的角。18.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角，AA1=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC1上一点，且BE=31BC1．（１）求证：GE∥侧面AA1B1B；（２）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小．19.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92.（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。20.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家．他的数学著作颇多，他编著的数学书共五种二十一卷，在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关．杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律．古今中外，许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作．下面是一个11阶的杨辉三角：试回答：（其中第（1）~（4）小题只须直接给出最后的结果，无须求解过程．）（1）记第i（i∈N*）行中从左到右的第j（j∈N*）个数为ija，则数列{ija}的通项公式为；n阶杨辉三角中共有个数．（2）第k行各数的和是．（3）n阶杨辉三角的所有数的和是．（4）第p（p∈N*，且p≥2）行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除，则整数p一定为．A．奇数B．质数C．非偶数D．合数（5）在第3斜列中，前5个数依次为1、3、6、10、15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m、k（m、k∈N*）的数学公式表示上述结论并证明其正确性．数学公式为：．1111121111151111113344651010615735218709126285636126841563572120895628136841101551111120120210252210110454516533046211330165551462第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行第7行第8行第9行第10行第11行第1斜列第2斜列第3斜列第4斜列第5斜列第6斜列第7斜列第8斜列第9斜列第10斜列第11斜列第12斜列11阶杨辉三角21.设函数dcxbxaxxf42)(23（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，)(xf取极小值.32（1）求a、b、c、d的值；（2）当]1,1[x时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若]1,1[,21xx时，求证：34|)()(|21xfxf.参考答案：CCDBCBBABD3.〖解〗V＝80－(8＋10＋12)＋(2＋3＋2)－1＝56，选C.7.提示：先考虑0,0yx时,圆上横、纵坐标均为整数的点有)7,1(、)5,5(、)1,7(，依圆的对称性知,圆上共有1243个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有66212C条,过每一点的切线共有12条,又考虑到直线01byax不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有7261266条,故选B.11.【答案】①③④；12.【答案】16/3；13.【答案】32；14.【答案】mnkC；根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从nk个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等1k类，故有mnkC种取法。15.【答案】nx111；9nxn.16.【答案】31k.17.解法一（1）平面''CBBC平面ABC，ACBC，AC平面'','.CBBCACBC在''BCCB中，',''CBCCBCCB为菱形。''.'BCBCBC平面'ABC.又'BC平面'',ACB平面'ABC平面''ACB.（2）延长CA到D，使CAAD，连',.ADBD//'','',//'',''.ACACACACADACADAC''ADAC为平行四边形。'//',''.ADACADAC'DAB为异面直线'AB与'AC所成的角。设22,90,,2,5.BCaBCDBCaCDaBDBCCDaAC平面''.'''.BCCBACBC在菱形'','60,BCCBCBBBCa,2'3.'',''''2.BCaACaABACCBa又''2.ADACa从而在'ABD中，222''2cos'.2''8ADABBDDABADAB(1,7)yx(7,1)(5,5)2'arccos.8DAB异面直线'AB与'AC所成的角的大小为2arccos8.解法二建立如图所示的空间直角坐标系。设2,BCa则0,2,0,2,0,0,',0,3,',0,3,',2,3AaBaBaaCaaAaaa，则',2,3,'3,2,3,',2,3,ACaaaABaaaABaaa'3,0,3.',0,3BCaaCBaa，（1）''0,''0BCCBBCAB，'','','BCCBBCABBC平面'ABC.又'BC平面''ACB，平面'ABC平面''ACB.（2）2''2,'4,'22ABACaABaACa.''2cos8''ABACABAC.异面直线'AB与'AC所成的角为2arccos8.18.解：(1)延长B1E交BC于F,∵ΔB1EC∽ΔFEB,BE＝21ＥＣ1∴ＢＦ＝21Ｂ１Ｃ１＝21ＢＣ，从而Ｆ为ＢＣ的中点．∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三点共线，且FAFG＝1FBFE＝31，∴GE∥AB1，又GE侧面AA1B1B，∴GE∥侧面AA1B1B.（２）在侧面AA1B1B内，过B1作B1Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，∴B1Ｈ⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成600的角，AA1=2，∴∠B1ＢＨ＝６００，ＢＨ＝１，B1Ｈ＝3．在底面ABC内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足为Ｔ，连B1Ｔ．由三垂线定理有B1Ｔ⊥ＡＦ，又平面B1GE与底面ABC的交线为ＡＦ，∴∠B1ＴＨ为所求二面角的平面角．∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３００，∴ＨＴ＝ＡＨsin300＝23，在ＲｔΔB1ＨＴ中，ｔａｎ∠B1ＴＨ＝HTHB1＝332，从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan332.19.20.解：（1）1jijiaC；(1)(2)2nn；（2）2k；（3）121n；（4）B．（5）111121mmmmmmmkmkCCCC．证明11112mmmmmmkCCC11112()mmmmmmmmkCCCC11112()mmmmmmkCCC122mmmkmkCC1mmkC．21.解（1）∵函数)(xf图象关于原点对称，∴对任意实数)()(xfxfx有，dcxbxaxdcxbxax42422323，即022dbx恒成立0,0dbcaxxfcxaxxf233)(,)(，1x时，)(xf取极小值3203,32caca且，解得1,31ca（2）当]1,1[x时，图象上不存在这样的两点使结论成立.假设图象上存在两点),(11yxA、),(22yxB，使得过