万有引力定律在天文学上的应用1

万有引力定律在天文学上的应用11．（1997年全国）某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运动，运行的周期是T，已知引力常量为G，这个行星的质量是________．2．（2001年春季）两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量．3．行星的平均密度是ρ,靠近行星表面的卫星的周期是T,试证明ρT2为一个常数．4．设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时,发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0．01倍,而该行星一昼夜的时间与地球相同,物体在它赤道上时恰好完全失重．若存在这样的星球,它的半径R应多大?5．质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半,求物体所处的高度．（已知地球的平均半径为R）参考答案:1．分析:本题考查应用万有引力定律计算天体质量,行星对卫星的引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力．解:由于G2rMm=m224Tr,得M=2324GTr．2．分析:此为天体运动的双星问题,除两星间的作用外,其他天体对其不产生影响．两星球周期相同,有共同的圆心,且间距不变,其空间分布如右图所示．解:设两星质量分别为M1和M2,都绕连线上O点做周期为T的圆周运动,两星到圆心的距离分别为L1和L2,由于万有引力提供向心力．故有G12212214LTMRMM①G22222214LTMRMM②由几何关系知：L1+L2=R③联立解得M1+M2=2324GTR3．分析：将行星看做一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供．解:设半径为R,则密度ρ与质量M、体积V的关系为M=ρV=ρ34πR3对卫星,万有引力提供向心力整理得ρT2=G3为一常量．4．分析:题设条件指出,物体在赤道上恰好完全失重,这是由于该星球自转所造成的．在赤道平面物体所受星球的万有引力恰好等于它随星球自转所需向心力．随物体向星球极地移动,其视重将增大．在极地位置,物体所需向心力为零．解:设行星的半径为R,在赤道上质量为m的物体随星体自转,物体受力如右图所示,根据牛顿第二运动定律得mg′—FN=mω2R依题FN=0,所以g′=ω2R．在极地地区物体重力仅为地球上重力的0．01倍,可知g′=0．01g自转周期与地球相同,即T′=T=8．64×104s,可知该星球半径为5．分析:本题考查地球表面物体所受重力的大小与万有引力之间的关系．物体所受的重力可近似看成等于地球对它的万有引力．解:在地面附近有G1=G2RMm,在离地h高度处有G2=G2)(hRMm,由题意知2221)(RhRGG=2,解得：h=（2—1）R．万有引力定律在天文学上的应用2一、选择题（每小题4分，共32分）1．有A、B两颗行星，它们各有一个运行高度不计的卫星a、b,两卫星环绕运行的周期分别为Ta、Tb,则两行星的平均密度之比ρa/ρb等于A．Ta2/Tb2B．Tb2/Ta2C．Ta/TbD．baTT/2．人造地球卫星在圆形轨道上环绕地球运转，它的运动速度、周期和轨道半径的关系是A．半径越大，速度越大，周期越大B．半径越大，速度越小，周期越大C．半径越大，速度越大，周期越小D．半径越大，速度越小，周期越小3．有一双星之间的距离为L，质量分别为M1、M2，轨道中心距离双星分别是R1、R2，他们的角速度为ω，则下列说法中正确的是…A．它们的周期之比为R2/R1B．它们的质量之比为R22/R12C．它们的线速度之比为M22/M12D．它们的向心加速度之比为M2/M14．若已知某行星绕太阳公转的半径为r,公转周期T，万有引力恒量G，由此可求…A．某行星质量B．太阳的质量C．某行星的密度D．太阳的密度5．下列说法中正确的是A．天王星偏离根据万有引力计算的轨道，是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用B．只有海王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的C．天王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的D．以上均不正确6．用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小:①等于零②等于20020)(hRgmR③等于m34020gR④以上结果都不对以上说法中正确的是A．①②B．②③C．①③D．④7．地球表面上的物体随地球的自转做圆周运动，圆周运动的向心力是由地球对物体的引力提供的，如果地球自转的周期变小，用弹簧秤称量物体的重力，则弹簧秤的示数Ａ．变小Ｂ．变大Ｃ．可能不变Ｄ．一定不变8．2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG6－30－15，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质量A．地球绕太阳公转的周期和速度B．太阳的质量和运行速度C．太阳质量和到MCG6－30－15的距离D．太阳运行速度和到MCG6－30－15的距离二、非选择题（共28分）9．（6分）如果把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1．5×108km，已知万有引力常量G=6．67×10－11N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是________kg（结果取一位有效数字）．10．（6分）（北京春季高考）地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，经估算，地核的平均密度为______kg/m3（结果取两位有效数字，引力常量G=6．7×10－11N·m2/kg2、地球半径R=6．4×106m）11．（8分）（2001年京、皖、蒙春季高考）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．图6－312．（8分）如图6－3所示，铅球A的半径为R，质量为M，另一质量为m的小球B，两球球心的距离为d，若在铅球内挖一个半径为R/2的球形空腔，空腔的表面与铅球球面相切，则A、B之间的万有引力多大？参考答案一、选择题（每小题4分，共32分）1．解析：由万有引力提供卫星的向心力，则F=G2RMm=m224TR，得：G3433RR=224T22434TG，即ρ=23GT,即ba=22abTT答案：B2．解析：由F=G2RMm=mRv2,得v=RGM所以A错，B正确，又由G2RMm=m224T·R得T=2πGMR3,即R越大，T也越大，故C、D错，正确答案为B．答案：B3．解析：因为双星体是以其连线中的某点为圆心而做同步的圆周运动，故周期相等，万有引力提供向心力，则G221LMM=M1ω2R1=M2ω2R2所以1221RRMM，故B错．又因为G221LMM=M1121Rv=M2222Rv211221RRMMvv=12MM,故C错．G221LMM=M1a1=M2a2所以21aa=12MM故D正确．答案：D4．解析：设M为太阳的质量，m′为行星的质量，行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力为F=m′ω2r=m′224Tr而行星的向心力由万有引力提供，所以G2'rMm=m′224Tr由此可得：M=2324GTr,故B正确．答案：B5．解析：1781年3月13日晚，恒星天文学之父——赫歇耳用自制的大望远镜发现天王星．海王星是继天王星之后发现的第二颗新行星，但与天王星不同，海王星的发现是神机妙算的结果．同理，冥王星也是天文学家分析推算出来的．所以本题A为正确答案．答案：A6．解析：由F引=G2RMm=mg，得20200)(hRRgg故通讯卫星受到的万有引力大小F=mg=20020)(hRgmR通讯卫星的角速度等于地球自转的角速度，故F引=mω02（R+h）由g0=20RGM地和G2)(hRmM地=mω02（R+h）得：（R+h）=320200Rg所以它受到的引力也可以表示为：F=m340020gR答案：B7．解析：因物体所处的地理位置不详（纬度不知），则弹簧秤的示数可能变小，也可能不变，故C选项正确．答案：C8．解析：G2rMm=mrv2,M=Grv2．故D选项正确．答案：D二、非选择题（共28分）9．解析：地球绕太阳公转时所需的向心力由万有引力提供，轨道半径r=1．5×108km=1．5×1011m,公转周期T=365×24×3600s=3．2×107s，则G2rMm=m（T2）2r，其中m为地球质量M=GTr2324=2×1030kg答案：2×1030kg10．解析：题目中将地核的体积和质量分别与地球的体积和质量联系起来，本身就对解题思路作了明显的提示，即先求地球的密度再求地核的密度，由于是估算，可以利用地球表面的重力加速度与地球质量、半径的关系进而确定地球的密度，设g为地球表面的重力加速度，由mg=2RGMm得：g=G2RM=G34πR3ρ/R2,ρ=GRg43．ρ=611104.614.3107.648.93kg/m3=5．5×103kg/m3据题设Mm1=0．34即VV11=0．34又VV1=0．16得地核平均密度ρ1=16.034.0ρ=16.034.0×5．5×103kg/m3=1．2×104kg/m3答案：1．2×104点评：（1）在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用，如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力，地面附近的重力加速度g=9．8m/s2；地球自转周期T=24h，公转周期T′=365天，月球绕地球运动的周期约为30天等．（2）在一般计算中常采用G2RMm=mg近似代换．11．解析：设两个星球的质量分别为m1和m2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为L1和L2，如图所示，则万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得G221Rmm=m1（T2）2L1①G221Rmm=m2（T2）2L2②L1+L2=R③由①②③式联立，解得两星的总质量m1+m2=2324GTR答案：2324GTR12．解析：对本题，有的同学容易这样求解：先求出空腔A球的重心位置C，令O2C=r，然后用公式F=G2'rmM计算（M′为挖去空腔后球A的质量），这种做法是错误的，因为空腔球A即不能视作质点，也不是质量均匀分布的球体，故不能直接运用万有引力定律公式进行计算，正确的解法是：设想将球A中被挖出的半径为R/2的小球放回A中，使之成为完整的整体，该小球的质量为m′,则81)2/(33'RRMm,即m′=8M据叠加原理，质量为M的实心球体与B之间的万有引力，应当等于半径为R/2（质量为M/8）的小球体及空腔球体（质量为7M/8）与B之间万有引力的矢量和，由此可得出F=G2dMm－G·2)2(8RdmM=GMm2222)2(2287RddRRdd答案：GMm2222)2(2287RddRRdd点评：（1）公式F=G221rmm只适用于计算两个质点（或均匀球体）之间的万有引力．（2）本题所用“填补法”是解决物理问题的一种常用方法．万有引力定律在天文学上的应用31．若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求出（）A．某行星的质量B．太阳的质量C．某行星的密度D．太阳的密度【解析】根据万有引力充当行星的向心力，得GMm/r2＝m4π2r/T2，所以太阳的质量为M＝4π2r3／GT2．要求太阳的密度还需要知道太阳的半径．根据行星绕太阳的运动，既不能求行星的质量也不能求行星的密度．【答案】B2．已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M地（引力常量G为已知）（）A．月球绕地球运动的周期T及月球到地球中心的距离R1B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2C．人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4【解析】要求地球的质量，应利用围绕地球的月球、卫星的运动．根据地球绕太阳的运动只能求太阳的质量，而不