人大附中2005-2006学年度第一学期高二数学期末测试

人大附中2005-2006学年度第一学期高二数学期末测试一．单项选择题.1.椭圆2212516xy上一点到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（）A．5B．7C．8D．102.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）A．B．（0，2）C．D．（0，1）3.椭圆与的关系为（）A．有相等的长、短轴B．有相等的焦距C．有相同的焦点D．有相同的准线4.方程所表示的曲线为．①若曲线为椭圆，则；②若曲线为双曲线，则或；③曲线不可能是圆；④若曲线表示焦点在轴上椭圆，则以上命题正确的是（）A．②③B．①④C．②④D．①②④5.设双曲线的一条准线与两条渐近线交于、两点，相应焦点为，若为正三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．3C．D．26.已知抛物线的焦点为，定点，在此抛物线上求一点，使最小，则点坐标为（）A．B．C．D．7.动点到点的距离比到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（）A．B．C．D．8.已知双曲线)0(1222ayax的一条准线与抛物线xy62的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A．23B．23C．26D．332二．填空题.9.如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么．10.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______．11.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，则线段的长是____．12.抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________.三．解答题.13.已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，求双曲线的方程．14．已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．15.已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．16．设),(),,(2211yxByxA两点在抛物线22xy上，l是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21xx取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(Ⅱ)(文)当3,121xx时，求直线l的方程.(Ⅱ)(理)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.2005-2006学年度第一学期高二数学期末测试参考答案一．单项选择题.1.B2.D3.B4.C5.D6.C7.D8.D二．填空题.9.110.11.812.三．解答题.13.解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条为．可设双曲线方程为即由椭圆方程可知双曲线与椭圆共焦点，则∴．故所求双曲线方程为．解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为由渐近线方程可得∴故所求双曲线方程为点评：1．渐近线为的双曲线方程可表示为14．解：设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．15.解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．说明处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．16．解：（Ⅰ）BAFBFAlF,||||两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x轴的平行线，2121,,0,0yyyy依题意不同时为0，∴上述条件等价于;0))((2121222121xxxxxxyy∵21xx，∴上述条件等价于.021xx即当且仅当021xx时，l经过抛物线的焦点F.另解：（Ⅰ）∵抛物线22xy，即41,22pyx，∴焦点为1(0,)8F………………………………………………………1分（1）直线l的斜率不存在时，显然有021xx………………………………3分（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b即直线l：y=kx+b由已知得：12121212221kbkyyxxyyxx……………5分2212122212122212222kbkxxxxxxxx22121212212kbkxxxxxx……………7分2212104bxx14b即l的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F……………………………………8分所以当且仅当12xx=0时，直线l经过抛物线的焦点F…………………………9分（Ⅱ）（文）当121,3xx时，直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b………………………………10分则由（Ⅰ）得：22121212212kbkxxxxxx12102122kbkxx………………………11分14414kb…………………………………………13分所以直线l的方程为14144yx，即4410xy………………14分（II）(理)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为bxy2；过点A、B的直线方程可写为mxy21，所以21,xx满足方程,02122mxx得4121xx；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841m即.321m设AB的中点N的坐标为),(00yx，则.16121,81(2100210mmxyxxx由.329321165165,41161,mbbmlN于是得即得l在y轴上截距的取值范围为（,329）.