华南师大附中培优试题3

培优练习（3）20040309一、选择题1、设A、B两点的坐标分别为(－1,0),(1,0)，条件甲：0BCAC；条件乙：点C的坐标是方程x24+y23=1(y0)的解.则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2、长为2的线段PO⊥平面α，O为垂足，A、B是平面α内两动点，若tan∠PAO=21，tan∠PBO=2,则P点到直线AB的距离的最大值是（）A．25cmB．34176cmC．5cmD．173572cm3、三个数,,abc成等比数列，若有1abc成立，则b的取值范围是（）A．10,3B．11,3C．10,3D．11,00,34、在某次数学测验中，学号)4,3,2,1(ii的四位同学的考试成绩}98,96,93,92,90{)(if，且满足)4()3()2()1(ffff，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为（）A．9种B．5种C．23种D．15种二、填空题5、已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。若a=1，∠B=45°，△ABC的面积S=2，那么△ABC的外接圆的直径等于.6、已知复数z满足：izi)1(，则z__________.7、设m、n都是不大于6的自然数，则方程12626yCxCnm表示的双曲线的个数是.8、以下命题：①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；②过点（x0,y0）与圆222ryx相切的直线方程是200ryyxx；③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；④抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离.其中正确命题的标号是.三、解答题9、（本小题满分12分）在实数范围内解不等式：145xx。并利用解此题的方法证明：xxx543有唯一解。10、（本小题满分12分）在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的任一点.（1）求证：不论P在侧棱CC1上何位置，总有BD⊥AP；（2）若CC1=3C1P，求平面AB1P与平面ABCD所成二面角的余弦值；（3）当P点在侧棱CC1上何处时，AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线.11、（本小题满分14分）P为椭圆c：)0(12222babyax上除)0,(1aA，)0,(2aA的两点外的一点。（Ⅰ）求直线1AP与PA2的斜率的乘积；（Ⅱ）设P（x，y），求证：|y|)ba(ab2arctanPAA22221；（Ⅲ）设21PAA，求证：cotbaba2S2222PAA21。12、（本小题满分12分）设数列}{na是等比数列，123321mmmACa，公比q是42)41(xx的展开式中的第二项（按x的降幂排列）.（1）用n，x表示通项an与前n项和Sn；（2）若nnnnnnSCSCSCA2211，用n，x表示An.13、（本小题满分12分）已知点H（－6，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足.21,0MQPMPMHP（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（－2，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点)0,(0xE，使得△AEB是以点E为直角顶点的直角三角形，求直线l的斜率k的取值范围.14、（本小题满分14分）对于函数)0(2)1()(2abxbaxxf，若存在实数0x，使00)(xxf成立，则称0x为)(xf的不动点.（1）当a=2，b=－2时，求)(xf的不动点；（2）若对于任何实数b，函数)(xf恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若)(xfy的图象上A、B两点的横坐标是函数)(xf的不动点，且直线1212akxy是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围.参考答案一、选择题BCDD二、填空题5、526、227、168、④三、解答题9、解：（1）由145xx得1)()(5154xx,显然xxxf)()()(5154是减函数，又当1x时,1)()(5154xx即11f;当1x时,1)1()()()(5154fxfxx；不等式的解集为1x|x.（2）由方程xxx543得,1)()(5453xx，显然函数xxxg)()()(5453是减函数，又当2x时，1)()(5453xx，当2x时,1)()(5453xx,当2x时,1)()(5453xx，方程xxx543有唯一解.10、解（1）由题意可知，不论P点在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD内射影都是AC，ACBD，.APBD（2）延长B1P和BC，设B1P∩BC=M，连结AM，则AM=平面AB1P∩平面ABCD.过B作BQ⊥AM于Q，连结B1Q，由于BQ是B1；Q在底面ABCD内的射影，所以B1Q⊥AM，故∠B1QB就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2B1C1，从而BM=3BC.所以BCBCBCBMABAM1092222.在AMBMABBQABMRt,中BQBRt,10BC3BC10BC3BC1在中，31021032tan11BCBCBQBBQBB，.3102tan1QBBQBBQBB1212cos1tan1得.cos1940112QBB73cos1QBB为所求.（3）设CP=a，BC=m，则BB1=2m，C1P=2m－a，从而,)2(2221ammPB.2,5422221mACmmmAB在121212112cos,.cos,ABAPPBABAPPABPABAPACAPCACPRt中在中依题意，得1PABPAC.1212122ABAPPBABAPAPAC.1212122ABACPBABAP.即.522])2([5222222mmammmma.411021101BBma故P距C点的距离是侧棱的.4110另解：如图，建立空间直角坐标系.设).,3,3(),0,3,3(),6,3,0(,6,11aPCBCCaCP).,3,3(),0,3,3(),6,3,0(1aAPACAB.)18(1818,cos,)18(5233)3(6369,cos22222221aAPACaaaaAPAB依题意，得,,cos,cos1APACAPAB即.4110641102)110(3,103231CCaa亦即故P距C点的距离是侧棱的.411011、（Ⅰ）解：设点P（x，y），则有axykaxykPAPA21,，………………………………………………2分由.,12222kaxyaxybyax变形为).(),(22222222axkyaxaby……………………4分∴22abk。即2221abkkPAPA。……………………………………5分（Ⅱ）证明：（1）当点P在x轴的上方时，y0。1212PAPAPAPA21kk1kkPAAtan，0)(2))((212222222322ybaabaxbayaabaxyaxy。…………7分（2）当点P在x轴的下方时，y0，同理可得0y)ba(ab2PAAtan22221。∴21PAA是钝角，.|y|)ba(ab2arctanPAA22221…………………………10分（Ⅲ）证明：由三角形的面积公式得||||22121yayaSPAA。………………12分|y|)ba(ab2arctan222。∴]|y|)ba(ab2arctantan[tan222。得,cotbaab2|y|222∴cotbaba2S2222PAA21。……………………………………………………14分12、解（1）.3.3,3,12,332,123321mmmmmmACammm即由.)41()41(21414242xxxCTxx知).1(11),1(,1xxxxnSxannnn（2）当x=1时，Sn=n，,32321nnnnnnnCCCCA又,0)2()1(0121nnnnnnnnnCCCnCnnCA12102),(2nnnnnnnnnACCCCnA当,11,1xxSxnn时).1(1)1(2),1(2].)1(2[11)]11(12[11)]()[(111111111112213322132133221xxxxnAxxCxCxxCxCxCxCxxCCCCCxCxxCxxCxxCxxAnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn13、解（1）设点M的坐标为),0,x3(Q),2y3,0(P,MQ21PM),y,x(得则由.8,0)2,()23,6(,02xyyxyPMHP所以得由点Q在x轴的正半轴上，得0x.所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点.（2）设直线)1(,0168,8,2:22myyxymyxl得代入).(11,064642mmm或解之得设)1(,),,(),,(212211是方程则yyyxByxA的两个实数根，由韦达定理得16,82121yymyy，所以，线段AB的中点坐标为),4,24(2mmF而,1184)(1||22212212mmyyyymABx轴上存在一点E，使△AEB为以点E为直角顶点的直角三角形，∴点F到x轴的距离不大于.||21AB所以.11821|4|22mmm化简得0124mm，解之得2512m，结合（*）得.2512m又因为直线l的斜率,1mk所以2152k，显然.0k故所求直线l的斜率k的取值范围为.0,215215kk且14、解),0(2)1()(2abxbaxxf（1）当a=2，b=－2时，.42)(2xxxf设x为其不动点，即.422xxx则.04222xx)(.2,121xfxx即的不动点是－1，2.（2）由xxf)(得：022bbxax.由已知，此方程有相异二实根，0x恒成立，即.0)2(42bab即0842aabb对任意Rb恒成立..2003216.02aaab（3）设),(),,(2211xxBxxA，直线1212akxy是线段AB的垂直平分线，1k记AB的中点).,(00xxM由（2）知,20abx.12122,12122aababakxyM上在化简得：22(421221121122aaaaaaab当时，等号成立）.即.42b∴b[－24,0).