高三数学八校联考测试试题

高三数学八校联考测试试题一、填空题（4′×12）：1、不等式11xxx的解集是,1。2、（理）设、是方程012xx的两根，则1200620060。（文）设、是方程012xx的两根，则1333。3、数列,72,71,73,72,71,73,72,71,73,72,71,73,72,71141312111098765432中的第2010项是201073。4、集合RaaxxxA,022非空，则A中所有元素的和是12或。5、若0,cos2122xRxxx且，则复数xicos2的模是5。6、已知函数11xxxf的反函数是xfy1，则方程55421xf的解是3log2x。7、已知数列*Nnan是公差不为零的等差数列，设12nnab，则数列nb的前n项和nS的表达式可以是2121nnaanS。（用na中的项表示）8、关于函数xxxf2arcsin有下列命题：①xf的定义域是R；②xf是偶函数；③xf在定义域内是增函数；④xf的最大值是4，最小值是0。其中正确的命题是②④。（写出你所认为正确的所有命题序号）9、走廊上有一排照明灯共10盏，为了节约用电，要关掉其中的三盏。如果关掉的三盏灯不是两端的灯，且任意两盏都不相邻，就不会影响照明，那么随机关掉其中的三盏灯，影响照明的概率是65。310361CCp10、（理）设函数xf的图像与直线bxax,及x轴所围成图形的面积称为函数xf在ba,上的面积。已知函数nxysin在n,0上的面积为*2Nnn，则函数13cosxy在65,0上的面积为625。（文）设函数xf的图像与直线bxax,及x轴所围成图形的面积称为函数xf在ba,上的面积。已知函数nxysin在n,0上的面积为*2Nnn，则函数xy3cos在65,0上的面积为35。11、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的*1Nkk。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的74，请从这个实事中提炼出一个不等式组是1747474174742kkk。12、（理）已知NxxxP,91，记cdabdcbaf,,,，（其中Pdcba,,,），例如：4,3,2,1f104321。设Pyxvu,,,，且满足66,,,39,,,vxyufyxvuf和，则有序数组yxvu,,,是9,1,6,8。15,73,910527vyxuvyxuvyxuvyxu（文）在ABC中，ABCbA,1,60的面积为23，则CBAcbasinsinsin的值为2。二、选择题（4′×4）：13、设A、B是两个集合，对于BA，下列说法正确的是（D）A．存在Ax0，使Bx0B．AB一定不成立C．B不可能为空集D．Ax0是Bx0的充分条件14、（理）若22，则一定不属于的区间是(C)A．,B．2,2C．,0D．0,（文）若22，则一定不属于的区间是(D)A．,B．2,2C．0,D．,015、（理）满足不等式*1221223loglogNnnxxn的正整数x的个数记为na，na的前n项和记为nS，则nS（A）A．12nnB．12nC．12nD．12nn（文）已知等比数列nx的公比是不为1的正数，数列ny满足1,02logaaaynxn，当154y，97y时，数列ny的前k项和最大，则k的值为（C）A．9B．10C．11D．12nyn22316、已知函数22xxf，则函数xfy的图像可能是（A）二、解答题（本大题满分86分，共6题）：17、（12′=9′+3′）（理）设P表示幂函数652ccxy在,0上是增函数的c的集合；Q表示不等式121cxx对任意Rx恒成立的c的集合。（1）求QP；（2）试写出一个解集为QP的不等式。（文）设P表示幂函数862ccxy在,0上是增函数的c的集合；Q表示不等式cxx41对任意Rx恒成立的c的集合。（1）求QP；（2）试写出一个解集为QP的不等式。解：（理）（1）∵幂函数652ccxy在,0上是增函数，∴0652cc，即,32,P，又不等式121cxx对任意Rx恒成立，∴112c，即,10,Q，∴,32,10,QP。（2）一个解集为QP的不等式可以是0321xxxx。（文）（1）∵幂函数862ccxy在,0上是增函数，∴0862cc，即,42,P，又不等式cxx41对任意Rx恒成立，∴3c，即3,Q，∴,43,QP。（2）一个解集为QP的不等式可以是043xx。18、（12′=6′+6′）已知复数iaaaaaz41526222，（1）当2,2a时，求iaaaz415222的取值范围；（2）（理）是否存在实数a，使得02z，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。（文）是否存在实数a，使得zz，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解：（1）∵2,2a，∴425,04252166415222222aaaaaiaaaz。（2）（理）∵02z，∴z为纯虚数，∴aaaaaaaaaaaa0225341520236222（文）∵zz，∴0Rez，∴23062aaaa或（舍去）3a。19、（14′=9′+5′）已知*,0Nnan，关于x的一元二次方程012xaxn的两实数根n、n满足nn，且nnnaa11,0，（1）求数列n和n的通项公式；（2）求nnn21lim的值。解：（1）∵nn，且nnnaa11,0，∴444,1,221221nnnnnnnnnnnnnnnaaaaa，∴2na是一个以0为首项，4为公差的等差数列。∴12142nanann，∴nnnnnnnnnnnn1,1212。（2）nnn21lim211lim1132211limnnnnnnnnn。20、（16′=4′+12′）已知函数2,2,sin1cos2xxxxf，（1）在右侧坐标系中作出函数的草图；（2）研究其值域、奇偶性和单调性，并分别加以证明。解：（1）0,2,sin12,0,sin1sin1cos2xxxxxxxf，（2）xf的值域为2,1。∵xfxxxxxfsin1cossin1cos22，∴xf是偶函数。任取2021xx，则21sin1sin1xx，即21xfxf，∴xf在2,0上是增函数，又xf是偶函数，∴xf在0,2上是减函数。21、（14′=8′+6′）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置。从海岸放归点A处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西向东不停地对鲸进行了40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测。已知kmAB15，观测站B的观测半径为km5。（Ⅰ）根据表中数据：①计算鲸沿海岸线方向运动的速度，②写出a、b满足的关系式并画出鲸的运动路线简图；（Ⅱ）若鲸继续以（Ⅰ）中②的运动路线运动，则鲸大约经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站B的观测范围（精确到1分钟）？解：（Ⅰ）由表中数据知：①鲸沿海岸线方向运行的速度为101（km/分钟），②a、b满足的关系式为ab，鲸的运动路线图如图1：（Ⅱ）如图2，设鲸所在的位置为点P，点P位于点C的正北方向bkm，点C位于点A的正东方向akm由（Ⅰ）知ab。又kmAB15，依题意，当鲸到观测站B的距离不大于5时进入观测站B的观测范围，∴51522ba，∴25152aa，即0200292aa，∴7.173.11a。故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间大约为1131013.11（分钟）。答：鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围。22、（18′=4′+8′+6′）（理）已知axxxaxf,2,2,2132为正常数。（1）可以证明：定理“若a、Rb，则abba2（当且仅当ba时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；（2）若0xf在2,0上恒成立，且函数xf的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测xfy的单调性（无需证明）；（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设1xx时，xf取得最大值。试构造一个定义在NkkxxxD,24,2且上的函数xg，使当2,2x时，xfxg，当Dx时，xg取得最大值的自变量的值构成以1x为首项的等差数列。解：（1）若a、b、Rc，则33abccba（当且仅当cba时取等号）。（2）021212232xaxxxaxf在2,0上恒成立，即2221xa在2,0上恒成立，∵2,0212x，∴22a，即2a，又∵3232222222222232321212121axaxaxxaxaxxf∴22221xax，即ax36时，26264636291962333maxaaaf，又∵ax362,0，∴6,0a。综上，得6,2a。易知，xf是奇函数，∵ax36时，函数有最大值，∴ax36时，函数有最小值。故猜测：2,3636,2aax时，xf单调递减；aax36,36时，xf单调递增。（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。如对Nkkkx,24,24，2,24kx，此时kxfkxgxg44，即Nkkkxkxkxaxg,24,24,421432。（文）已知函数xbbaxxf22242，21axxg，Rba,（Ⅰ）当0b时，若xf在,2上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对ba,：当a是整数时，存在0x，使得0xf是xf的最大值，0x