高三第一次适应性测试数学理科试题

福建省东山二中2007届高三第一次适应性测试数学理科试题一、选择题（共60分）1、复数Riiaz)43)((，则实数a的值是（）A．43B．43C．34D．－342、ABC中，若BAcossin，则ABC为（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定3、如右图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1=BC，P为C1D1上一点，则异面直线PB与B1C所成角的大小（）A．是45°B．是60°C．是90°D．随P点的移动而变化4、设函数),()()0(,)0(11)(在要使xfxaexxxxfx内连续，则实数a值等于（）A．1B．32C．21D．15、关于函数433sin2)(xxf，有下列命题①其最小正周期为32；②其图像由43sin2向左平移xy个单位而得到；③其表达式写成;433cos2)(xxf④在125,12x为单调递增函数；则其中假．命题为（）A．①B．②C．③D．④6、已知,表示平面，m，n表示直线，则m//的一个充分而不必要条件是（）A．;,mB．;//,nmnC．;//,//nnmD．m,//7、若函数)2,2()(21)(在为常数，axaxxf内为增函数，则实数a的取值范围（）A．),21(B．),21[C．)21,(D．]21,(8、已知双曲线12222byax的左焦点为F1，左、右顶点为A1、A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．以上情况都有可能9、如图，平面内的两条相交直线1OP和2OP将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界）.若21OPbOPaOP，且点P落在第Ⅲ部分，则实数ba、满足()(A)0,0ba.(B)0,0ba.(C)0,0ba.(D)0,0ba.10、在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目.若选到男教师的概率为209，则参加联欢会的教师共有（）A．120人.B．144人C．240人D．360人11、在平面直角坐标系中，已知曲线C：2cos,sin,xy（θ是参数，且3,22），那么曲线C关于直线y＝x对称的曲线是（）12、若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（）A．)23,2[B．]23,2(C．)23,3[D．)23,3(二、填空题（共16分）13、已知数列}{na满足,2,111nnaaa记312353331nnaaaaT，则nnTlim=.14、已知函数32)1()1(3)1(31)(xxxxf，则)8(1f=.15、已知2().1(1)2;2(1)4.fxxaxbff且则点(,)ab所在区域面积是16、点P(3，1)在椭圆)0(12222babyax点过的右准线上P，且方向向量为的)5,2(a光线经直线y=－2反射后通过椭圆的右焦点，则这个椭椭圆的离心率为三、解答题（共74分）17、(本小题12分)已知函数.)sin2cos2()(2bxxaxf（1）当1a时，求)(xf的单调递增区间；（2）当0a，且],0[x时，)(xf的值域是]4,3[，求a、b的值.18、(本小题12分)旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.（3）求选择甲线路旅游团数的期望.19、(本小题12分)如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点.（1）求二面角O1－BC－D的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离20、(本小题12分)在平面直角坐标系中，已知(,)nnAna、(,)nnBnb、*(1,0)()nCnnN，满足向量1nnAA与向量nnBC共线，且点*(,)()nnBnbnN都在斜率为6的同一条直线上．（1）试用11,ab与n来表示na；（2）设11,aaba，且12＜a≤15，求数列na中的最小值的项．21、（本小题12分）已知双曲线C的中心在原点，抛物线x52y2的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点（1,3）.(1)求双曲线的方程;(2)设直线l:1kxy与双曲线C交于A、B两点,试问:①k为何值时OBOA②是否存在实数k,使A、B两点关于直线mxy对称(m为常数),若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.22、.(本小题14分)设函数f（x）=xaxxln1在[1+，∞)上为增函数.（1）求正实数a的取值范围.（2）若a=1，求征：114131211413121nnnlnn（n∈N*且n≥2）参考答案一、选择题（60分）BCCABDABBAAA二、填空题（16分）13、636414、015、116、33三、解答题（74分）17、解（1）1)4sin(2sincos1)(bxbxxxf,∴递增区间为.],42,432[Zkkk----------------------6分（2）,)4sin(2)cos(sin)(baxabaxxaxf而]1,22[)4sin(],45,4[4],,0[xxx，故.312,3)22(2,42babaabaa---------------12分18、解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=834334A…………3分（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=16943222324ACC……6分（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3P（ξ=0）=64274333P（ξ=1）=6427433213CP（ξ=2）=64943313CP（ξ=3）=6414333C∴ξ的分布列为：∴期望Eξ=0×6427+1×6427+2×649+3×641=43………………12分19、解法一ξ0123P64276427649641（1）过O作OF⊥BC于F，连接O1F，∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=3.在Rt△O1OF在，tan∠O1FO=133,3OOOF∴∠O1FO=60°即二面角O1—BC—D为60°（2）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F.过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，∴OH=3.2∴点E到面O1BC的距离等于3.2解法二：（1）∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=23，OB=2，则A（23，0，0），B（0，2，0），C（－23，0，0），O1（0，0，3）设平面O1BC的法向量为1n=（x，y，z），则1n⊥1OB，1n⊥1OC，∴2302330yzxz，则z=2，则x=－3，y=3，∴1n=（－3，3，2），而平面AC的法向量2n=（0，0，3）∴cos1n，2n=21436||||2121nnnn，设O1－BC－D的平面角为α，∴cosα=1,2∴α=60°.故二面角O1－BC－D为60°.（2）设点E到平面O1BC的距离为d，∵E是O1A的中点，∴1EO=（－3，0，32），则d=2323)3(|)2,3,3()23,0,3(|||||22211nnEO∴点E到面O1BC的距离等于32。20、解：（1）点*(,)()nnBnbnN都在斜率为6的同一条直线上，16(1)nnbbnn，即16nnbb，于是数列nb是等差数列，故16(1)nbbn．………………3分11(1,)nnnnAAaa，(1,)nnnBCb，又1nnAA与nnBC共线，111()(1)()0,.nnnnnnbaaaab即…………4分1213212()()()nnnnaaaaaaaa当≥时，11231nabbbb11(1)3(1)(2)abnnn．………6分当n＝1时，上式也成立．所以an11(1)3(1)(2)abnnn．……………7分（2）把11,aaba代入上式，得na(1)3(1)(2)aannn23(9)62.nana12＜a≤15，79426a≤，当n=4时，na取最小值，最小值为a4=18－2a．…………12分21、解:(1)由题意设双曲线方程为1byax2222,把(1,3)代入得1b3a122（*）又x52y2的焦点是（25，0），故双曲线的45bac222（2分）与（*）联立，消去2b可得05a21a424，0)5a)(1a4(22.∴41a2，5a2（不合题意舍去）………（3分）于是1b2，∴双曲线方程为1yx422………（4分）(2)由1yx41kxy22消去y得02kx2x)k4(22（*），当0即22k22（2k）时，l与C有两个交点A、B………（5分）①设A（1x，1y），B（2x，2y），因OBOA，故0OBOA………（6分）即0yyxx2121，由（*）知221k4k2xx，221k42xx，代入可得01k4k2kk42kk422222………（7分）化简得2k2∴2k，检验符合条件，故当2k时，OBOA………（8分）②若存在实数k满足条件，则必须)3(2xxm2yy)2(2)xx(kyy)1(1km21212121………（10分）由（2）、（3）得2)xx(k)xx(m2121………（4）把221k4k2xx代入（4）得4mk………（11分）这与（1）的1mk矛盾，故不存在实数k满足条件.………（12分）22、解:（1）由已知：)(xf=012aaxax………………………2分依题意得：21axax≥0对x∈[1，+∞)恒成立………………4分∴ax－1≥0对x∈[1，+∞)恒成立∴a－1≥0即：a≥1……5分（2）∵a=1∴由（1）知：f（x）=xlnxx1在[1，+∞)上为增函数，∴n≥2时：f（1nn）=01111111fnnnlnnnlnnnnn即：11nnlnn…7分∴nnnnlnlnlnn1123121413121……………………9分设g（x）=lnx－xx∈[1，+∞)，则011)(xxg对),1[x恒成立，∴g′（x）在[1+∞)为减函数…………12分∴n≥2时：g（1nn）=ln1nn－1nng（1）=－10即：ln1nn1nn=1+1nn（n≥2）∴113121)111()211()111(1ln34ln23ln12lnnnnnnn综上所证：11312113121nnnlnn（n∈N*且≥2）成立.……14分