高考数学普通高等学校招生全国统一考试119

高考数学普通高等学校招生全国统一考试119注意事项：1．本试卷分第一部分和第二部分．第一部分为选择题，第二部分为非选择题。2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。3．所有答案必须在答题卡上指定区域作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（本卷共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝10}，则P∩Q等于A．{－2，3}B．{－3，2}C．{3}D．{2}2．函数f(x)＝11＋x2（x∈R）的值域是A．[0，1]B．[0，1)C．(0，1]D．(0，1)3．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列前9项和S9等于A．45B．36C．27D．64．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a0，a≠1)的图象过点（0，0），其反函数过点（1，2），则a+b等于A．3B．4C．5D．65．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为A．±4B．±22C．±2D．±26．“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设x、y为正数，则有(x+y)(1x＋4y)的最小值为A．15B．12C．9D．68．已知非零向量AB与AC满足()0||||ABACBCABAC且12||||ABACABAC，则△ABC为YCYA．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形9．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a＞0)。若x1＜x2，x1＋x2=0，则A．f(x1)f(x2)B．f(x1)=f(x2)C．f(x1)f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定10．已知双曲线x2a2－y22＝1(a2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为A．233B．263C．3D．211．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）。已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d。例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为A．1,6，4,7B．4,6，1,7C．7,6，1,4D．6,4，1,7第二部分（共90分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).13．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为.14．(2x－1x)6展开式中的常数项为（用数字作答）.15．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1个），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（用数字作答）.16．水平桌面α上放有4个半径为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)。在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是.YCY三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三人投篮，投进的概率分别是25，12，35。现3人各投篮1次，求（Ⅰ）3人都投进的概率；（Ⅱ）3人中恰有2人投进的概率。18．（本小题满分12分）已知函数f(x)=3sin(2x－π6)+2sin2(x－π12)(x∈R)。（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求使函数f(x)取得最大值的x的集合.19．（本小题满分12分）如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在直线l上的射影为B1，已知AB＝2，AA1=1，BB1＝2，求：（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小.20．（本小题满分12分）已知正项数列}{na，其前n项和Sn满足10Sn=2na＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列，求求数列}{na的通项an.21．（本小题满分14分）如图，三定点A（2,1），B（0，－1），C(－2,1)；三动点D，E，M满足ADAB=t，BEBC=t，DMDE=t，t∈[0,1]（Ⅰ）求动直线DE的斜率的变化范围；（Ⅱ）求动点M的轨迹方程.22．（本小题满分12分）设32()31fxkxx函数(k≥0)（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数)(xf的极小值大于0，求k的取值范围.参考答案一、选择题1．A2．B3．C4．C5．B6．A7．B8．D9．A10．D11．D12．C二、填空题13．－1214．6015．132016．3R三、解答题17.解:(Ⅰ)记甲投进为事件A1,乙投进为事件A2,丙投进为事件A3,则P(A1)=25,P(A2)=12,P(A3)=13,∴P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=25×12×35=325∴3人都投进的概率为325(Ⅱ)设“3人中恰有2人投进为事件BP(B)=P(A1－A2A3)+P(A1A2－A3)+P(A1A2A3－)=P(A1－)·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P(A2－)·P(A3)+P(A1)·P(A2)·P(A3－)=(1－25)×12×35+25×(1－12)×35+25×12×(1－35)=1950∴3人中恰有2人投进的概率为195018.解:(Ⅰ)f(x)=3sin(2x－π6)+1－cos2(x－π12)=2[32sin2(x－π12)－12cos2(x－π12)]+1=2sin[2(x－π12)－π6]+1=2sin(2x－π3)+1∴T=2π2=π(Ⅱ)当f(x)取最大值时,sin(2x－π3)=1,有2x－π3=2kπ+π2即x=kπ+5π12(k∈Z)∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+5π12,(k∈Z)}.19.解法一:(Ⅰ)如图,连接A1B,AB1,∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,∴AA1⊥β,BB1⊥α.则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.Rt△BB1A中,BB1=2,AB=2,∴sin∠BAB1=BB1AB=22.∴∠BAB1=45°.Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1=AA1AB=12,∴∠ABA1=30°.故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.(Ⅱ)∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=2.∴Rt△AA1B中,A1B=AB2－AA12=4－1=3.由AA1·A1B=A1F·AB得A1F=AA1·A1BAB=1×32=32,∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE=A1EA1F=63,∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin63.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)如图,建立坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(2,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得AF→=tAB→,即(x,y,z－1)=t(2,1,－1),∴点F的坐标为(2t,t,1－t).要使A1F→⊥AB→,须A1F→·AB→=0,即(2t,t,1－t)·(2,1,－1)=0,2t+t－(1－t)=0,解得t=14,∴点F的坐标为(24,－14,34),∴A1F→=(24,14,34).设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,12,12).∴EF→=(24,－14,14).又EF→·AB→=(24,－14,14)·(2,1,－1)=12－14－14=0,∴EF→⊥AB→,∴∠A1FE为所求二面角的平面角.又cos∠A1FE=A1F→·EF→|A1F→|·|EF→|=(24，14，34)·(24，－14，14)216+116+916·216+116+116=18－116+31634·12=13=33,∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos33.ABA1B1αβl第19题解法一图EFABA1B1αβl第19题解法二图yxyEF20.解:∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－10,∴an－an－1=5(n≥2).当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.21.解法一:如图,(Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD→=tAB→,BE→=tBC→,知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2).∴xD=－2t+2yD=－2t+1同理xE=－2tyE=2t－1.∴kDE=yE－yDxE－xD=2t－1－(－2t+1)－2t－(－2t+2)=1－2t.∴t∈[0,1],∴kDE∈[－1,1].(Ⅱ)∵DM→=tDE→∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t).∴x=2(1－2t)y=(1－2t)2,∴y=x24,即x2=4y.∵t∈[0,1],x=2(1－2t)∈[－2,2].即所求轨迹方程为:x2=4y,x∈[－2,2]解法二:(Ⅰ)同上.(Ⅱ)如图,OD→=OA→+AD→=OA→+tAB→=OA→+t(OB→－OA→)=(1－t)OA→+tOB→,OE→=OB→+BE→=OB→+tBC→=OB→+t(OC→－OB→)=(1－t)OB→+tOC→,OM→=OD→+DM→=OD→+tDE→=OD→+t(OE→－OD→)=(1－t)OD→+tOE→=(1－t2)OA→+2(1－t)tOB→+t2OC→.设M点的坐标为(x,y),由OA→=(2,1),OB→=(0,－1),OC→=(－2,1)得x=(1－t2)·2+2(1－t)t·0+t2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t·(－1)+t2·1=(1－2t)2消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[－2,2].故所求轨迹方程为:x2=4y,x∈[－2,2]22.解:（I）当k=0时,f(x)=－3x2+1∴f(x)的单调增区间为(－∞,0],单调减区间[0,+∞).当k0时,f'(x)=3kx2－6x=3kx(x－2k)∴f(x)的单调增区间为(－∞,0],[2k,+∞),单调减区间为[0,2k].（II）当k=0时,函数f(x)不存在最小值.当k0时,依题意f(2k)=8k2－12k2+10,即k24,由条件k0,所以k的取值范围为(2,+∞).yxOMDABC－1－1－212BE第21题解法图