高考数学二轮复习导数与单调性考查

高考数学二轮复习导数与单调性的综合考查一、小题（共10题）1、函数32()31fxxx是减函数的区间为()（Ａ）(2,)（Ｂ）(,2)（Ｃ）(,0)（Ｄ）(0,2)2.在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数（）A．3B．2C．1D．03．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）fx（）0，则必有（）A.f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C.f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）4.设20,()afxaxbxc，曲线()yfx在点00,()Pxfx处切处的倾斜角的取值范围为[0,]4，则P到曲线()yfx对称轴距离的取值范围（）A．1[0,]aB．1[0,]2aC．[0,||]2baD．1[0,||]2ba5．与直线042yx的平行的抛物线2xy的切线方程是（）A．032yxB．032yxC．012yxD．012yx6．设)(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数，()0,gx，当0x时，()()()()0,fxgxfxgx且(3)0,f则不等式()/()0fxgx的解集是（）A．),3()0,3(B．)3,0()0,3(C．),3()3,(D．)3,0()3,(7．函数f(x)=x(x－1)(x－2)·…·(x－100)在0x处的导数值为（）A.0B.2100C.200.100！8．过点（－1，0）作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为（）（A）220xy（B）330xy（C）10xy（D）10xy小题答案：题号12345678答案DDBBDDDD9．设函数()()()()fxxaxbxc，（a、b、c是两两不等的常数），则)()()(cfcbfbafa．010.解析：曲线xy1和2xy在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是43.二．解答题1.已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.解：本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分奎屯王新敞新疆（Ⅰ）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P（x1,x21+2x1）的切线方程是：y－(x21+2x1)=(2x1+2)(x－x1),即y=(2x1+2)x－x21①函数y=－x2+a的导数y′=－2x,曲线C2在点Q（x2,－x22+a）的切线方程是即y－(－x22+a)=－2x2(x－x2).y=－2x2x+x22+a.②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，1222121xxxxa消去x2得方程2x21+2x2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a）=0时，即a=－21时解得x1=－21，此时点P与Q重合.即当a=－21时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y=x－41.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a－21时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为：P（x1,y1）,Q（x2,y2）.其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=－1,y1+y2=x21+2x1+(－x22+a)=x21+2x1－(x1+1)2+a=－1+a.线段PQ的中点为).21,21(a同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是).21,21(a所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.2．已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且fxgx，f(5)=30,则求g(4)。解：cacxxgaxxf,22∵f(2x+1)=4g(x)∴dbaca41,424∴dbca43,2又f(5)=30=25+10+b∴b=-5d=21∴g(x)=x2+2x21∴g(4)=2473．已知向量i=（1，0），j=（0，1），函数)0()(23acbxaxxf的图象在y轴上的截距为1，在x=2处切线的方向向量为bjica12)(，并且函数当1x时取得极值。（1）求)(xf的解析式；（2）求)(xf的单调递增区间；（3）求)(xf的极值。'2'2'(1)(0)1,1,()32(1)04,()461126(2)1fcfxaxbxfafxxxbbfa解:由得由得'2'(2)()12120,()(1,)(,0)(3)(0,1)()0()0(0)1()1(1)1fxxxfxfxfxxffxxf由得单调递增区间为和在上,在处取得极大值在处取得极小值4.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数.)(23axxxxf(Ⅰ)求)(xf的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线xxfy与)(轴仅有一个交点.解：(I)'()fx=32x－2x－1若'()fx=0，则x==－13，x=1当x变化时，'()fx，()fx变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，+∞)'()fx+0－0+()fx极大值极小值∴()fx的极大值是15()327fa，极小值是(1)1fa(II)函数322()(1)(1)1fxxxxaxxa，由此可知，取足够大的正数时，有()fx0，取足够小的负数时有()fx0，所以曲线y=()fx与x轴至少有一个交点结合()fx的单调性可知：当()fx的极大值527a0，即5(,)27a时，它的极小值也小于0，因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当()fx的极小值a－10即a(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点，它在(－∞，－13)上。∴当5(,)27a∪(1，+∞)时，曲线y=()fx与x轴仅有一个交点。6．（湖南卷）设0t，点P（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.；（Ⅰ）用t表示a，b，c；（Ⅱ）若函数)()(xgxfy在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围.解：（I）因为函数)(xf，)(xg的图象都过点（t，0），所以0)(tf，即03att.因为,0t所以2ta..,0,0)(2abccbttg所以即又因为)(xf，)(xg在点（t，0）处有相同的切线，所以).()(tgtf而.23,2)(,3)(22btatbxxgaxxf所以将2ta代入上式得.tb因此.3tabc故2ta，tb，.3tc（II）解法一))(3(23,)()(223223txtxttxxyttxxtxxgxfy.当0))(3(txtxy时，函数)()(xgxfy单调递减.由0y，若txtt3,0则；若.3,0txtt则由题意，函数)()(xgxfy在（－1，3）上单调递减，则).3,()3,1(),3()3,1(tttt或所以.39.333tttt或即或又当39t时，函数)()(xgxfy在（－1，3）上单调递减.所以t的取值范围为).,3[]9,(解法二：))(3(23,)()(223223txtxttxxyttxxtxxgxfy因为函数)()(xgxfy在（－1，3）上单调递减，且))(3(txtxy是（－1，3）上的抛物线，所以.0|,0|31xxyy即.0)3)(9(.0)1)(3(tttt解得.39tt或所以t的取值范围为).,3[]9,(7.（安徽卷）设函数32()fxxbxcxxR，已知()()()gxfxfx是奇函数。（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求()gx的单调区间与极值。解析：（Ⅰ）∵32fxxbxcx，∴232fxxbxc。从而322()()()(32)gxfxfxxbxcxxbxc＝32(3)(2)xbxcbxc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6gxxx，从而2()36gxx，由此可知，(,2)和(2,)是函数()gx是单调递增区间；(2,2)是函数()gx是单调递减区间；()gx在2x时，取得极大值，极大值为42，()gx在2x时，取得极小值，极小值为42。8．（北京卷）已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数'()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x的值；（Ⅱ）,,abc的值.解析：解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上()0fx,在(1,2)上()0fx,在(2,)上()0fx,故()fx在(,1),(2,)上递增,在(1,2)上递减,因此()fx在1x处取得极大值,所以01x.(Ⅱ)2()32,fxaxbxc由(1)0,(2)0,(1)5,fff得320,1240,5,abcabcabc解得2,9,12.abc解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设2()(1)(2)32,fxmxxmxmxm又2()32,fxaxbxc所以3,,2,32mabmcm323()2.32mfxxmxmx由(1)5f,即325,32mmm得6m,所以2,9,12abc.9．（湖南卷）已知函数axaxxf313)(23.（Ｉ）讨论函数)(xf的单调性；（Ⅱ）若曲线)(xfy上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解（Ⅰ）由题设知)2(363)(,02axaxxaxxfa.令axxxf2,00)(21得.当（i）a0时，若)0,(x，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,(a上是增函数；若)2,0(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,0(a上是减函数；若),2(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间),2(a上是增函数；（ii）当a＜0时，若)2,(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,(a上是减函数；若)2,0(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,0(a上是减函数；若)0,2(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)0,2(a上是增函数；若),0(x，则0)(xf，所以)(xf在区间),0(上是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(xfy上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数)(xfy在axx2,0处分别是取得极值af31)0(，134)2(2aaaf.因为线段AB与x轴有公共点，所以0)2()0(aff.即0)31)(134(2aaa.所以0)4)(3)(1(2aaaa.故0,0)4)(3)(1(aaaa且.解得－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].10．（全国卷I）设a为实数，函数3221fxxaxax在,0和1,都是