高考数学第二轮专题复习----函数与方程专题

函数与方程专题一、高考大纲剖析：2005年高考大纲数学学科的主体内容没有变化，与去年的考纲相比：在能力要求部分比去年增加了对“四能力、一创新”的界定，比如究竟什么是运算能力等，过去的大纲未做过详细表述.考纲指出“运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似的计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”.中心思想是要求考生能够“在运算当中，寻找解题的方法”，加大了对学生运算能力考查的要求.在考试内容部分比去年删减了两处知识点：“能利用计算器解决解三角形的计算问题”，以及“了解多面体的欧拉公式”；在考试要求部分也有不少细微的变动，比如对“三垂线定理及其逆定理”的考查，由“了解”改成了“掌握”，增加了“理解直线的倾斜角的概念”等等.《函数》这一章调整了一个知识点，把“函数的奇偶性”从下一章《三角函数》调了过来；改动了一个知识点，把“函数的应用举例”改成了“函数的应用”；增加了“了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”的考试要求，对函数的意义、性质及综合应用的考查要求有了明显的提高.在试卷结构部分第一次取消了选择题、填空题、解答题三种题型分值比例的限制，删去了容易题、中等题和难题的比例和这三类难度题的界定.而去年明确给出了“选择题40%、填空题10%、解答题50%”、“难度在0．7以上的是容易题，难度在0．4~0．7的试题为中等题，难度在0．4以下的为难题.三种试题的难度的比为3：5：2”，这一改变为命题者对试卷难度的控制提供了较大的空间.这里还需要留意的是，考纲指出“试卷由容易题、中等题和难题组成，总体难度适当，并以中等题为主”，去掉了去年“以容易题和中档题为主”这句话中“容易题”这3个字，试卷整体难度预计会有所提高.二、高考试题研究：纵观近几年的新课程高考卷以及2004、2003年的江苏卷，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.(2004年，江苏卷8)若函数)1,0)((logaabxya的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（A）a=2,b=2（B）a=2,b=2（C）a=2,b=1（D）a=2,b=2(2003年，江苏卷6)函数),1(,11lnxxxy的反函数为（A）),0(,11xeeyxx（B）),0(,11xeeyxx（C）)0,(,11xeeyxx（D）)0,(,11xeeyxx(2004年，江苏卷11)设k1，f(x)=k(x-1)(x∈R).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（A）3（B）32（C）43（D）65(2003年，江苏卷9)已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m－n|=（A）1（B）43（C）21（D）83(2004年，江苏卷13)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：则不等式ax2+bx+c0的解集是_______________________.(2003年，江苏卷4)设函数,1)(.0,,0,12)(021xfxxxxfx若则x0的取值范围是（A）（－1，1）（B）（－1，+∞）（C）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D）（－∞，－1）∪（1，+∞）(2004年，江苏卷12)设函数)(1)(Rxxxxf，区间M=[a，b](ab)，集合N={Mxxfyy),(}，则使M=N成立的实数对(a，b)有（A）0个（B）1个（C）2个（D）无数多个(2003年，江苏卷1)如果函数abxaxy2的图象与x轴有两个交点，则x-3-2-101234y60-4-6-6-406点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为(2004年，江苏卷22)已知函数))((Rxxf满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有)]()()[()(λ2121221xfxfxxxx和2121)()(xxxfxf，其中λ是大于0的常数.设实数a0，a，b满足0)(0af和)(λafab（Ⅰ）证明1λ，并且不存在00ab，使得0)(0bf；（Ⅱ）证明20220))(λ1()(aaab；（Ⅲ）证明222)]()[λ1()]([afbf.(2003年，江苏卷22)设,0a如图，已知直线axyl:及曲线C：2xy，C上的点Q1的横坐标为1a（aa10）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点1nP，再从点1nP作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列.na（Ⅰ）试求nnaa与1的关系，并求na的通项公式；（Ⅱ）当21,11aa时，证明nkkkkaaa121321)(；（Ⅲ）当a=1时，证明nkkkkaaa121.31)(abOabOabOabO(A)(B)(C)(D)Q2Q3Q1P1P2xOylc三、高考命题展望：由于函数在高中数学中具有举足轻重的地位，它仍将是2005年高考的一个热点.对函数试题的设计依然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图像、应用考查函数知识；与方程、不等式、解几等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查.1.函数的奇偶性.因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法，今年考纲中新增加了“掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”这一考试要求，故而与函数的奇偶性有关的函数性质综合题应予以足够的关注.例1.设))((Rxxf为奇函数，).2()()2(,21)1(fxfxff则)5(f0)(A1)(B25)(C5)(D例2.已知定义域为),0()0,(的函数)(xf是偶函数，并且在)0,(上是增函数，若0)3(f，则0)(xfx的解集是)3,0()0,3)((A)3,0()3,)((B),3()3,)((C),3()0,3)((D例3.函数)(xf的定义域为,R且)1(xf为奇函数，当1x时，.12)(2xxxf则当1x时，)(xf的单调减区间为),45)[(A]45,1)((B),47)[(C]47,1)((D例4.已知函数)(xf是奇函数，当0x时，13)(xxf，设)(xf的反函数是)(xgy，则)8(g例5.如果函数3)()(axxf对任意实数t，都有)1()1(tftf，则)2()2(ff2.复合函数.函数试题的设计始终围绕着几个基本初等函数，并通过这几个函数之间的串联、组合成为复合函数，达到对函数知识、方法和思想的深刻考查.因而对复合函数类问题，要掌握换元、分解、整体代入等方法，找到其母函数，从而化归为基本初等函数问题加以解决.例6.若1()3912xxfx，要使1()fa有意义，实数a的取值范围是()A57[,)4()B57[,12)4()C(6,)()D(12,)例7.若函数)(xfy的图象可由函数)1lg(xy的图象绕坐标原点O逆时针旋转2得到,则)(xf()A110x()B110x()Cx101()Dx101例8.已知11()xfxx，a、b为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是(A)2()()()2ababffabfab(B)2()()()2ababfffabab(C)2()()()2ababfffabab2()()()2ababfffabab2()()()2ababfffabab(D)2()()()2ababfabffab例9.已知,0,1,0,1)(xxxf则不等式)2()2(xfxx≤5的解集是.例10.已知函数()fxxxbxc，有下列命题：①0,0bc时，()0fx只有一个实数根②0c时，()yfx是奇函数③()yfx的图象关于点(0,)c对称④方程()0fx至多有3个实数根，则正确的命题的序号为3.抽象函数.抽象函数问题是近几年高考中函数类问题的一个新的热点，由于具体函数与抽象函数之间是特殊化与一般化的关系，因而抽象函数问题的解决方法更加灵活多样，既可以采用特殊化方法，又可以回归函数的各种性质，有利于考查学生的抽象思维能力，故而应引起我们的高度重视.例11.已知)(,11)11(22xfxxxxf则的解析式可取为（A）21xx（B）212xx（C）212xx（D）21xx例12.若)(xf和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程0)]([xgfx有实数解，则)]([xfg不可能．．．是（A）512xx（B）512xx（C）512x（D）512x例13.给出四个函数，分别满足：①)()()(yfxfyxf②)()()(ygxgyxg③)()()(yxyx④)()()(yxyx又给出四个函数的图像，则正确的匹配方案是（A）①-a②-b③-c④-d（B）①-b②-c③-a④-d（C）①-c②-a③-b④-d（D）①-d②-a③-b④-c例14.已知()fx的定义域为R,若1()yfxa与()yfxa互为反函数且()faa(a为非零常数),则(2)fa=例15.函数()yfx的定义域为R，对于任意实数、，有：()()2()()22ffff且1(),()0322ff（1）求证：()()()fxfxfxxyO1axyO1bxyOcxyOd（2）若02x，()0fx，证明：()fx在0,递减4.数学思想.数学思想能从整体上深层次认识数学的实质，对数学知识、数学方法的运用起到导向作用.对数学思想的教学在新授课和第一轮复习中通常处在“隐含、渗透”阶段，在第二轮复习中就应提升到“介绍、运用”阶段，应更加明确，更加系统，这是一个从模糊到清晰的质的飞跃。函数一章包含了考纲中明确考查的四种数学思想方法，即函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和等价转化思想等，我们应努力使其成为学生解决函数问题的自觉的行动指南.例16.若方程2)lg(2lgaxx无解，则21)(aA21)(aB21)(aC21)(aD例17.定义在R上的奇函数baxf,),(为任意正实数，且,ba若),(bax时，恒有)()()()()(afaxabafbfxf成立，则下列关系式中正确的是)1()3()(ffA)1()3()(ffB)1()3()(ffC)(D以上都不正确例18.()(2)(2)fnfnfn对一切大于1的正整数n都成立,(0)2005,f则(2004)f例19.实数,xy满足：3(1)2005(1)3xx，3(1)2005(1)3yy，则xy=例20.已知)(324)(32Rxxaxxxf在区间[－1，1]上是增函数.（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设关于x的方程3312)(xxxf的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式2121xxtmm对任意Aa及]1,1[t恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.四、高考复习建议：通