高考高三统数学-7

2002－2003学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学测试题—数列、数学归纳法（7）一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．数列{an}中，已知311210),()1(,3,1aNnaaaaannnn则且等于（）A．33B．21C．17D．102．数列{an}中，1161),(,1996aNnnaaann则等于（）A．163B．164C．165D．1663．已知821,,,aaa是各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，则A=与81aaB=54aa的大小关系是（）A．ABB．ABC．A=BD．不确定，由公比q的取值而定4．等差数列的前10项之和是前5项之和的4倍，则它的首项a1与公差d的比da1=（）A．21B．2C．41D．45．设{an}是公差为2的等差数列，9996397741,50aaaaaaaa则等于（）A．－50B．50C．16D．826．在等比数列{an}中，已知naaaaqRqan则且公比,,1,,110211（）A．44B．45C．46D．477．在50—350之间所有个位数字是1的整数之和是（）A．5880B．5339C．5208D．48778．若,7,5,3,21321222aaanan则数列的前n项和是（）A．16nnB．nn)1(6C．13nnD．2)1(6nn9．均不为0的三个复数321,,zzz成等比数列，则下列结论中正确的是（）A．它们的辐角主值成等差数列B．它们的模成等比数列C．它们的模成等比数列且辐秀主值成等差数列D．以上都不正确10．数列{an}的前n项和为Sn，P为常数，且满足)2(4,2111npaSaSannnn，又已知pSnn则,6lim（）A．2B．1C．21D．不确定二、填空题（本题11—14小题每题4分，15—16小题每题5分，共26分）11．在等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，已知nnnSSS32,14,8则.12．在等差数列{an}中，nSSSa当,,0941最大时，n的值是.13．在等差数列{an}中，17141185aaaaa恰等于这个数列中连续5项之和，这连续的5项是.14．在等差数列{an}中，它的前n项和记为Sn，已知240)9(30,1849nnSnaS且，则n的值是.15．在无穷递缩等比数列{an}中，已6)(lim,4)(lim123121nnnnaaaaaa则)(lim242nnaaa.16．在等差数列{an}中，已知公差d=5，前20项的和)(,400220242220aaaS则)(2192321aaa.三、解答题17．（本题满分12分）数列{an}的前n项和为,322nnSn若将此数列按如下规律编组：),,,(),,(),(654321aaaaaa……，求第n组的n个数之和.18．（本题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，已知2a、b2、c2成等差数列，求证：ctgA、ctgB、ctgC也成等差数列.19．（本题满分12分）在平面上有n个圆，任两个圆都相交于两个交点，任三个圆不交于同一点，记这n个圆把平面分成的区域个数为)(nf，)1(f、f(2)、f(3)、f(4)，猜想f(n)的表达式，并证明它.20．（本题满分12分）已知nnnaaaxaxaxaxaxf2133221,,)(且成等比差数列（n为正偶数）.又)21(,)1(,)1(2fnfnf试比较的3的大小.21．（本题满分12分）已知数列{an}的首项}{2).0,1||(1,121nanppppaa时当为常数且是以p为公比的等比数列.{an}的前n项和为).1(21naaaSnn（1）试问：S1，S2，S3……，Sn，……能否构成等差数列或等比数列，给出证明；（2）设.21lim,2211nnnnnWSaSaSaW证明22．（本题满分14分）数列{an}的前n项和为.64,8}{,53112nnnnbbbbnnS中数列（1）求通项an；（2）是否存在常数a、b，使得对一切自然数n都有bbananlog成立.若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由.高三数学测试题参考答案七、数列、数学归纳法一、选择题1．A2．D3．A4．A5．D6．C7．A8．A9．B10．A二、填空题11．18；12．n=6或n=7；13．131211109aaaaa；14．n=15;15．－2；16．2000三、计算题17．解：由)2(14)]1(3)1(2[)32(,52211nnnnnnSSaSnnn由于n=1也成立，).1(14nnan分组是（5），（9，13），（17，21，25），……，设{an}：5，9，13，…，所求第n组中n个数的和应为}2)1(3]2)1([2{}2)1(3]2)1([2{222)1(2)1()1(2121nnnnnnnnSSSSnnnnnnnnnnnnnnnnnnn32223422)1(32)1(2)1(32)1(32222218．解：2a、b2、c2成等差数列，故,sinsinsinsin,22222222BCABbcab),sin()sin(2)sin()sin(2,2cos2cos2cos2cosCBCBBABACBBA得两边同除以CBACBCBABABACsinsinsin).sincoscos(sinsin)sincoscos(sinsinctgActgBctgCctgActgB,、ctgB、ctgC成等差数列.19．解：一个圆把平面分成两部分，.2)1(f两个相交的圆把平面分成4部分，2)(,14)4(,8)3(.4)2(2nnnffff猜想同样，下面用数学归纳法给出证明：,2211)1(,112fn时当一个圆把平面分成2个部分，猜想成立.2°假设当n=k时，k个圆把平面分成f(k)=k2－k+2个部分，那么当n=k+1时，平面上有k+1个圆，任取其中一个圆记作Ck+1，其余的k个圆由归纳假设知，把平面分成f(k)=k2－k+2个部分.由于任两个圆都有两个交点，任三个圆不交于同一点，所以圆Ck+1与其余k个圆相交的交点数为2k，这2k个交点把圆Ck+1分成2k段弧，每段弧都把原来的平面区域一分为二，这样共增加了2k个平面区域.这时k+1个圆把平面分成的区域就是f(k+1)=(k2－k+2)+2k=k2+k+2=(k+1)2－(k+1)+2.这就是说，当n=k+1时，猜想也成立.由1°、2°可知，对一切自然数n，满足题目条件的n个圆把平面分成的区域数为f(n)=n2－n+2.20．设等差数列{an}的公差为d，及f(1)=n2,f(－1)=n，得.,1321221naaaaanaaannn.)12(53)(.12.2,1.22)1(32121nnxnxxxxfnadandnndnnna1143232212252321)21(21212252321)21(nnnfnf二式相减得：11132212)211(2121222222121)21(21nnnnnnf.3)21(,23212212311fnnn21．①2,1,121naa及时an是以P为公比的等比数列，)2(,)1()1(,11nppnann).().2(),1(1)2(1)1)(1(1)1(,1111NnpSnpnnpppnSnnnnn又}{,01||nSpp且能构成等比数列，但不能构成等差数列.②,1),2()1()1(113212SakpppppSakkkkk又,1)1()1(1)1()1()1(1222323ppppppppppWnnn,11,0,1||.11111)1(1lim2pppRpppppWnn.21lim,2111.210nnWpp22．①.8,2623nnnbna②假设存在这样的a,b，使得对一切自然数n都有,log成立bbanan则.8log38log8log)23(8loglog26223aaananabnbnbbbn令.7,21,8log32)21(8,8log32,8log66262bababaaa即∴存在这样的数.7,21ba