2012年西城区高三二模数学试卷及答案(理科)

北京市西城区2012年高三二模试卷数学（理科）2012.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合2{|log1}Axx，{|0Bxxc，其中0}c．若ABB，则c的取值范围是（）（A）(0,1]（B）[1,)（C）(0,2]（D）[2,)2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()exfx；②()exfx；③1()fxxx；④1()fxxx．则输出函数的序号为（）（A）①（B）②（C）③（D）④3．椭圆3cos5sinxy(是参数)的离心率是（）（A）35（B）45（C）925（D）16254．已知向量(,1)xa，(,4)xb，其中xR．则“2x”是“ab”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x和2x，标准差依次为1s和2s，那么（）（注：标准差222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为12,,,nxxx的平均数）（A）12xx，12ss（B）12xx，12ss（C）12xx，12ss（D）12xx，12ss6．已知函数()1fxkx，其中实数k随机选自区间[2,1]．对[0,1]x，()0fx的概率是（）（A）13（B）12（C）23（D）347．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S，则S的最小值是（）（A）42（B）41（C）40（D）398．对数列{}na，如果*kN及12,,,kR，使1122nknknkknaaaa成立，其中*nN，则称{}na为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{}na是等比数列，则{}na为1阶递归数列；②若{}na是等差数列，则{}na为2阶递归数列；③若数列{}na的通项公式为2nan，则{}na为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．在△ABC中，3BC，2AC，π3A，则B_____．10．已知复数z满足(1i)1z，则z_____．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PAPE，60ABC，1PD，9PB，则PA_____；EC_____．12．已知函数2()1fxxbx是R上的偶函数，则实数b_____；不等式(1)||fxx的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．14．曲线C是平面内到定点(0,1)F和定直线:1ly的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点(,)Pxy在曲线C上，则||2y；③若点P在曲线C上，则1||4PF.其中，所有正确结论的序号是____________．EADCB三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知函数22π()cos()sin6fxxx．（Ⅰ）求π()12f的值；（Ⅱ）若对于任意的π[0,]2x，都有()fxc，求实数c的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，BCAB，BCCDAB22，EAEB．（Ⅰ）求证：ABDE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．18．（本小题满分13分）已知抛物线24yx的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若2AFFB，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．19．（本小题满分14分）已知函数2221()1axafxx，其中aR．（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(xf的单调区间；（Ⅲ）若)(xf在[0,)上存在最大值和最小值，求a的取值范围．20．（本小题满分13分）若12(0nniAaaaa或1,1,2,,)in，则称nA为0和1的一个n位排列．对于nA，将排列121nnaaaa记为1()nRA；将排列112nnnaaaa记为2()nRA；依此类推，直至()nnnRAA．对于排列nA和()inRA(1,2,,1)in，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做nA和()inRA的相关值，记作(,())inntARA．例如3110A，则13()011RA，133(,())1tARA．若(,())1(1,2,,1)inntARAin，则称nA为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列3A；（Ⅱ）证明：不存在最佳排列5A；（Ⅲ）若某个21(kAk是正整数)为最佳排列，求排列21kA中1的个数．北京市西城区2012年高三二模试卷数学（理科）参考答案及评分标准2012.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D；2．D；3．B；4．A；5．C；6．C；7．C；8．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．π4；10．1i22；11．3，4；12．0，{|12}xx13．13，3π；14．①②③．注：11、12、13第一问2分，第二问3分；14题少填不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：22ππππ3()cos()sincos12121262f．………………5分（Ⅱ）解：1π1()[1cos(2)](1cos2)232fxxx………………7分1π133[cos(2)cos2](sin2cos2)23222xxxx………………8分3πsin(2)23x．………………9分因为π[0,]2x，所以ππ4π2[,]333x，………………10分所以当ππ232x，即π12x时，()fx取得最大值32．………………11分所以π[0,]2x，()fxc等价于32c．故当π[0,]2x，()fxc时，c的取值范围是3[,)2．………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结EO，DO．因为EAEB，所以ABEO．………………1分因为四边形ABCD为直角梯形，BCCDAB22，BCAB，所以四边形OBCD为正方形，所以ODAB．……………2分所以AB平面EOD．………………3分所以EDAB．………………4分（Ⅱ）解：因为平面ABE平面ABCD，且ABEO，所以EO平面ABCD，所以ODEO．由OEODOB,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO．…………5分因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OEODOBOA，设1OB，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)OABCDE．所以)1,1,1(EC，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)OD．………………7分设直线EC与平面ABE所成的角为，所以||3sin|cos,|3||||ECODECODECOD，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33．………………9分（Ⅲ）解：存在点F，且13EFEA时，有EC//平面FBD．………………10分证明如下：由)31,0,31(31EAEF，)32,0,31(F，所以)32,0,34(FB．设平面FBD的法向量为v),,(cba，则有0,0.BDFBvv所以0,420.33abaz取1a，得)2,1,1(v．………………12分因为ECv0)2,1,1()1,1,1(，且EC平面FBD，所以EC//平面FBD．即点F满足13EFEA时，有EC//平面FBD．………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为15,0,15,30．………………1分35310C1(15)C12PX；2155310CC5(0)C12PX；1255310CC5(15)C12PX；35310C1(30)C12PX．………………5分乙得分的分布列如下：X1501530P121125125121………………6分155115(15)01530121212122EX．………………7分（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B.则223332381()C()()()555125PA，………………10分511()12122PB．………………11分故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125PPAB．……13分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意(1,0)F，设直线AB方程为1xmy．………………1分将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得2440ymy．…………3分设11(,)Axy，22(,)Bxy，所以124yym，124yy．①………………4分因为2AFFB，所以122yy．②………………5分联立①和②，消去12,yy，得24m．………6分所以直线AB的斜率是22．………………7分ABCOMxyF（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2AOBS．………………9分因为12122||||2AOBSOFyy………………10分221212()441yyyym，………………12分所以0m时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当1a时，22()1xfxx，22(1)(1)()2(1)xxfxx．………………2分由(0)2f，得曲线()yfx在原点处的切线方程是20xy．…………3分（Ⅱ）解：2()(1)()21xaaxfxx．………………4分①当0a时，22()1xfxx．所以()fx在(0,)单调递增，在(,0)单调递减．………………5分当0a，21()()()21xaxafxax．②当0a时，令()0fx，得1xa，21xa，()fx与()fx的情况如下：故)(xf的单调减区间是(,)a，1(,)a；单调增区间是1(,)aa．………7分③当0a时，()fx与()fx的情况如下：x1(,)x1x12(,)xx2x2(