习题集(1)

9.1常数项级数的概念和性质一、填空题（每小题4分，共20分）1.等比级数0(0)nnaqa，当__1q__________________时发散，当___1q______________时收敛.2.级数101nn_____发散________________(填收敛或发散).3.级数1)1(1nnn的部分和1______1___,1nsn此级数的和___1_____s.4.已知1!2nnnnn收敛，则2!lim_0_________.nnnnn5.当1x时，13nnx的和________3(1)xsx.二、单选题（每小题4分，共20分）1.下列说法正确的是（C）；A、若,1nnu1nnv都发散，则1)(nnnvu发散B、若1nnu发散，则11nnu收敛C、若1nnu收敛，则11nnu收敛D、若,1nnu1nnv都发散，则1)(nnnvu发散2.若1nnu收敛，1nnv发散，则对1)(nnnvu来说，结论（B）必成立；A、级数收敛B、级数发散C、其敛散性不定D、等于1nnu1nnv3.指出下列命题中之正确者（C）A、若limnnu0，则unn1收敛B、若lim()nnnuu10，则unn1收敛C、若unn1收敛，则limnnu0D、若unn1发散，则limnnu04．如果数项级数nnu¥=å收敛，那么(D)A.lim,()nnnnSSuuu==+++LB.limnknku==åC.limnnu¹D.lim,()nnnnSSuuu=+++L存在5.级数1)1(1nnn的前9项的和s9为（C）A.9001B.32C.0.9D.1三、解答题（每小题12分，共60分）1.判断级数1(1)nnn的敛散性.发散解：该级数一般项1nunn(111)(212)(1)nSnn=11nlimlim11nnnSn，故级数发散2.判断级数11(32)(31)nnn的敛散性.收敛于133.判断7453321的敛散性，若收敛，求其和.解：该级数一般项21nnun，1limlim0212nnnnun不满足级数收敛的必要条件，该级数发散.4.级数1)3121(nnn是否收敛？若收敛，求其和.解：1111111()2323nnnnnnn这是两个公比分别为1211,23qq的几何级数之和，112nn的和为1121112s，113nn的和为21131213s所以原级数收敛，和为12sss=32（性质3）5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？解：依题意，每一次抽出的空气的质量依次为0.2,(10.2)0.20.16,(0.80.16)0.20.128,mmmmm所以抽出的空气的总质量为10.20.160.1280.2(0.8)nmmm=10.2(10.80.640.8)nm上式中110.80.640.8n是一个公比为0.81q的几何级数，其和为1510.8s由性质2，得抽出的空气质量最多为0.25mm9.2数项级数审敛法一、填空题（每小题4分，共20分）1.部分和数列{}ns有界是正项级数1nnu¥=å收敛的______________条件.2．若级数1nnu¥=å绝对收敛，则级数1nnu¥=å必定__________.3．级数12nnnn¥=å____________(填收敛或发散).4．级数11nn_________________(填收敛或发散).5．级数11nnn___________________(填收敛或发散).二、单选题（每小题4分，共20分）1.下列级数发散的是（C）；A、121nnB、12)1(nnC、211nnD、12)1(nnn2.下列级数中，条件收敛的是（D）；A、15)1(nnnB、121)1(nnnC、11)21()1(nnnD、111)1(nnn3.下列级数中，绝对收敛的是（D）。A、111)1(nnnB、1)1(nnnnC、1ln)1(nnnD、11)1(nnnn4.nn¥=骣÷ç÷ç÷ç桫å是(B)A.等比级数B.p-级数C.调和级数D.等差级数5.下列级数中绝对收敛的是(B)A.()nnnn¥=+-åB.()nnnn-¥=-åC.()nnn¥=骣÷ç-÷ç÷ç桫åD.nn¥=å三、解答题判断下列级数的收敛性（每题6分）1．17!)!2(nnnn解：11(22)!!7lim(1)!7(2)!nnnnnunnunn所以17!)!2(nnnn是发散的.2.11nnnn解：limlim()[lim()]1011nnnnnnnnunn不满足级数收敛的必要条件，故级数发散3.1131arcsin)1(nnn解：这是一个交错级数，111arcsinarcsin33(1)nnuunn并且1limlimarcsin03nnnun，满足交错级数收敛条件，故收敛.4.1321)1(nnnn．解：这是一个交错级数，221331(1)1(1)nnnnuunn并且231limlim0nnnnun，满足交错级数收敛条件，故收敛5.12nnn．2nnnu，1112nnnu111211limlimlim1222nnnnnnnunnun由比值审敛法可知，级数12nnn收敛.6.166nnn．解：66nnun，1166(1)nnun16616666limlimlim61(1)6(1)nnnnnnnunnunn由比值审敛法可知，级数616nnn发散7.)0,(,31211babababa．．解：另设级数1()nvnab1111111(1)()23nnnvnababn上式为1ab与一个调和级数相乘，故发散又11()nnuvnabnab，由比较审敛法可知，原级数发散8.1)3)(2)(1(nnnnn解：321(1)(2)(3)nnnnuvnnnnn而222211111112nnnvnn是一个21p的p级数，收敛由比较审敛法可知，原级数收敛9.nn134232．解：1limlim10nnnnun不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散10.2227151311．解：这个交错级数的一般项为12211,(21)(21)nnuunn因为1nnuu，且121limlim0(21)nnnnuun故该级数收敛9.3函数项级数与幂级数一、填空题（每小题4分，共20分）1.已知幂级数nnnxa0的收敛半径2R，则在下列x值：ee1,,0,1,1,2,2中，幂级数nnnxa)3(0的收敛点是2,e　　_________，绝对收敛点是__2,e　　_______，发散点是_12,1,0,e　　________，不能确定收敛性的点是____1______.2.03nnnx的收敛半径________R3,，收敛域为____(-3,3)_________.3.1112)32()1(nnnnx的收敛域为_(1,2]____________.4.已知]1,1(),1ln()1(11xxxnnnn，则1nnnx的和函数__________ln(1),11xx（并注明收敛域）.5.幂级数31(2)nnnxn的收敛半径为______2____________.二、单选题（每小题4分，共20分）1.若幂级数1nnnax在3x处收敛，则该幂级数在2x处（A）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不能确定2.当1x时，幂级数0nnx收敛于（D）A.21xxB.1xC.1xxD.11x3.幂级数1nnxn的收敛半径是（D）A.RB.2RC.0RD.1R4.幂级数2114nnnxn的收敛半径是（C）A.4B.14C.2D.125.幂级数2114nnnxn在(2,)内必为（D）A.收敛B.条件收敛C.绝对收敛D.发散三、解答题（共60分）1.求幂级数13nnnxn的收敛域.解：13nnan，11113limlim3lim31(1)3nnnnnnnannann于是该级数的收敛半径为3R，在区间(3,3)内收敛当1x时，该级数为111123n，是调和级数，发散当1x时，该级数为11111(1)23nn，这是交错级数，满足收敛条件，故收敛所以该级数的收敛域为3,3.2.122212nnnxn解：该题是缺少奇次幂的幂级数，可用比值审敛法求收敛半径及收敛域22212nnnnux，且21221222112112limlimlim2122122nnnnnnnnnnxunxxnunx,由比值审敛法，当2112x即22x时，幂级数221212nnnnx收敛当2112x即2x或2x时，幂级数221212nnnnx发散当2112x即2x时，当2x时，级数221212nnnnx=1112121222nnnnnn发散当2x时，级数221212nnnnx=221112121(1)222nnnnnnn发散所以幂级数221212nnnnx的收敛域为2,23.13)1(nnnnx解：13nnan，11113limlim3lim31(1)3nnnnnnnannann于是该级数的收敛半径为3R，该级数在(1)(3,3)x内收敛.当13x时，2x，该级数为11113nnnnn，是调和级数，发散.当13x时，4x，该级数为1111(1)(1)3nnnnnnn，这是交错级数，满足收敛条件，故收敛.所以该级数的收敛区间为2,4.4.求幂级数122212nnnxn在2,2上的和函数.解：设22121()2nnnnfxx逐项积分，得2222000112121()22xxxnnnnnnnnfxdxxdxxdx=21112nnnx=222212xxxx（这是公比212xq的几何级数）求导222202(())()2(2)xxxfxdxxx所以22121()2nnnnfxx=2222(2)xx.5.求幂级数433221432xxx在1,1（）上的和函数.解：设234()122334xxxfx（补充条件1x，或求出R）逐项求导，得23()123nxxxxfxn再逐项求导，得21()1nfxxxx积分一次，得001()()ln(1)1x