广州市海珠区高二下学期期末联考数学理试题

海珠区2013-2014学年下学期期末联考试题高二数学本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考室号、座位号填写在答题卡上；填写考生编号，并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回监考老师，试卷自己保管。5．本次考试不允许使用计算器。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列求导运算正确的是()A.sin'cosxxB.cos'sinxxC.'211xxD.'122xxx2.已知a是实数，1aii是纯实数，则a等于（）A.2B.1C.1D.23.已知向量(3,1,2),(,,4)xyab，且//ab，则xy（）A.8B.4C.4D.84.已知椭圆2221(0)9xyaa与双曲线22143xy有相同的焦点，则a的值为（）A.2B.105.设集合13,(3)0MxxNxxx，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在高台跳水运动，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系2()4.96.510httt，则瞬时速度为1m/s的时刻是（）A.55s98B.65s98C.55s49D.65s497.下列选项中，说法正确的是()A.命题“若21x,则1x”的否命题．．．为:“若21x,则1x”.B.命题“若22ambm，则ab”的逆命题．．．是真命题.C.命题“210xRxx,”的否定．．是:“200010xRxx,”.D.命题“若xy,则coscosxy”的逆否命题．．．．为真命题.8.抛物线22yx的焦点为F，其准线经过双曲线22221(0,0)xyabab的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且||2MF，则双曲线的离心率为（）A.102B.2C.5D.52二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9.定积分320xdx=.10.在二项式61(2)xx的展开式中,含2x项的系数是.11.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有种.（用数字作答）12.已知随机变量X的分布列是012则DX.13.右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽米.14.若等差数列na的公差为d，前n项和为nS.则数列nSn为等差数列，公差为2d.类似地，若正项等比数列nb的公差为q，前n项和为nT.则数列nnT为等比数列，公差为三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，第13题（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）若a、b、c成等比数列,求证:ABC为等边三角形.16.（本小题满分12分）已知函数32()(,)fxxaxbxabR的图像过点(1,(1))Pf，且在点P处的切线方程为86yx.（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间.17.（本小题满分14分）已知A盒中有2个红球和2个黑球.B盒中有2个红球和3个黑球，现从A盒与B盒中各取一个球出来再放入对方盒中.（Ⅰ）求A盒中有2个红球的概率；（Ⅱ）求A盒中红球数的分布列及数学期望18．（本小题满分14分）如图，在等腰直角三角形RBC中，90RBC，2RBBC.点A、D分别是PB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PAAB，连结PB，PC.（Ⅰ）求证:BCPB；（Ⅱ）求二面角ACDP的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为1y，过点0,1A且与直线l相切的动圆的圆心为点M，记点M得轨迹为曲线E.（Ⅰ）求曲线E的方程;（Ⅱ）若直线1ykx与曲线E相交于B，C两点，过B点作直线l的垂线，垂足为D，O为坐标原点，判断D，O，C三点是否共线？并证明你的结论.20．（本小题满分14分）已知函数()ln1fxxx（Ⅰ）若0x时，函数()yfx的图像恒在直线ykx上方，求实数k的取值范围；（Ⅱ）证明：当时n，1111ln(1)2341nn.海珠区2013-2014学年下学期期末联考参考答案及评分标准高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）题号12345678答案CBCDBADA二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.910.24011.6013.2214.q三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由ABC、、成等差数列，有2=BAC，?………2分?????因为ABC、、为ABC的内角，所以ABC，??………3分?∴3B?………4分（Ⅱ）由abc、、成等比数列，2bac，?………6分由余弦定理可得，222222cosbacacBacac，?………8分代入得22acacac，即2=0ac，因此=ac，………10分从而=AC，由此可得，3ABC，………11分所以ABC为等边三角形.………12分16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵点P在切线上，∴2)1(f.∴1ba.………1分又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴8)1('f，………2分又baxxxf23)('2，………3分∴52ba.………4分解方程组，可得3,4ba．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得383)('2xxxf，令'()0fx解得133xx或…………8分由0)('xf，可得313xx或；………9分由0)('xf，可得313x.…………10分FRADBCP∴函数)(xf的单调增区间为),31(),3,(，单调减区间为)31,3(.………12分17．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）A盒与B盒中各取一个球出来再放入对方盒中后，A盒中还有2个红球有下面两种情况：①互换的是红球，将该事件记为1A，则：11221114515CCPACC；………3分②互换的是黑球，将该事件记为2A，则：112321145310CCPACC；………6分故A盒中有2个红球的概率为121315102PPAPA；………8分（Ⅱ）A盒中红球数的所有可能取值为1，2，3.………9分而112311453110CCPCC；122P；11221145135CCPCC；………12分因而的分布列为：123………13分∴31119123102510E.………14分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵点AD、分别是RB、RC的中点，∴//,ADBC………1分∵ADPA，∴BCPA,------2分∵AABPAABBC,,---------3分zyxRADBCP∴BC⊥平面PAB.--------4分∵PB平面PAB,∴PBBC.-------5分（Ⅱ）法1：取RD的中点F，连结AF、PF．-------6分∵1ADRA,∴RCAF.-------7分∵,APABAPAD^^,∴AP平面RBC.-------8分∵RC平面RBC,∴APRC.-------9分∵,AAPAF∴RC平面PAF.-------10分∵PF平面PAF,∴PFRC.-------11分∴∠AFP是二面角PCDA的平面角.--------12分在Rt△RAD中,22212122ADRARDAF，在Rt△PAF中,2622AFPAPF，----------13分∴二面角PCDA的平面角,332622cosPFAFAFP.-----14分法2：由题意知,,APABAPADABAD^^^，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA．------6分则D（－1，0，0），C（－2，1，0），P（0，0，1）.------7分∴DC=（－1，1，0），DP=（1，0，1）,-----8分设平面PCD的法向量为(),,nxyz=r，则：00zxDPnyxDCn，---------9分令1x，得1,1zy，----------10分∴n=（1，1，－1）.-----------11分显然，PA是平面ACD的一个法向量，PA=（,0,01）．----------12分∴cosn，PA=33131PAnPAn．---------13分∴二面角PCDA的平面角的余弦值是33.--------14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解法1：由题意,点M到点A的距离等于它到直线l的距离,故点M的轨迹是以点A为焦点,l为准线的抛物线.……………2分∴曲线E的方程为24xy.……………4分解法2：设点M的坐标为,xy,依题意,得1MFy,即2211xyy,……………2分化简得24xy.∴曲线E的方程为24xy.……………4分（Ⅱ）答：,,DOC三点共线.……………5分证明:设点,BC的坐标分别为1122,,,xyxy，……………6分依题意得，2211224,4xyxy.……………7分由21,4,ykxxy消去y得2440xkx，……………9分解得221,24412212kkxkk.∴12124,4xxkxx.……………11分∴直线OC的斜率22222244OCxyxkxx，……………12分直线OD的斜率2114ODxkx，……………13分∴OCODkk，故,,DOC三点共线.…………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0,x时，函数)(xfy的图像恒在直线kxy上方，等价于当0,x时，ln1xxkx恒成立，………1分即ln11lnxxkxxx恒成立，………2分令1lngxxx，0,x，则22111'xgxxxx………3分当,1x时，'0gx，故1lngxxx在1,上递增，当0,1x时，'0gx，故1lngxxx在0,1上递减，………4分∴1g为1lngxxx在区间0,上的极小值，仅有一个极值点故为最小值，∴0,x时，11gxg………5分所以实数k的取值范围是,1………6分（Ⅱ）证明1(构造函数法)：由（1）知当0x，1x时，xxx1ln,即1ln1xx-………8分令nnx1，则111lnnnnn，………10分即得11ln)1ln(nnn………11分11ln)1ln(312ln3ln,211ln2lnnnn，，………12分11112nn++++L……………13分即11413121)1ln(nn…………………14分证明2（数学归纳法）：①当1n时，由2ln2ln41=，知1ln22成立；………7分②假设当nk时命题成立，即1111ln(1)2341kk+++++