3.1模拟方法(一)-概率的应用

古典概型的定义：古典概型的概率计算公式：古典概型的概率计算方法：加法原理：古典概型我们常常利用穷举法来穷举概率可能发生的样本，但是对于样本非常大时，穷举法不一定能够实现假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?对于这样的问题，我们实验法或穷举法，困难比较大，费时、费力，并且很难实现，因此，我们常常采用模拟的方法来实现，模拟的方法可以在短时间内完成大量的重复实验，前面我们通过随机数表来模拟抛硬币实验，利用摸球来模拟抽奖等都是模拟实验。模拟的方法被广泛应用在现实中，下面我们来通过实例来看看模拟的基本思想1.面积估计如何估计这块不规则土地的面积？我们采用的是这种凡是来度量这个不规则图形的面积的：一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1000×1000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.另一种方法就是概率的方法，向图中的长方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：（1）正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个2）正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关阅读课文P154•比较图3-183-193-20，体会模拟方法的应用P(芝麻落在A内)=区域A的面积/长方形的面积.我们可以大量重复进行向长方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在长方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．说明：1.这种模拟是利用古典概型的思想，用几何的方式来估计概率。2.概率计算要能抽象出数学模型()APA构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例.则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodelsofprobability),简称几何概型.长度（面积或体积）试验的全部结果的区域（面积面积或体构成事件A的区域长度P(A)几何概型的特点a)试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；b)每个基本事件出现的可能性相等古典概型与几何概型的区别相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.2.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.我们回到上面来解决最开始提出的问题：假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?能否用古典概型的公式来求解?事件A包含的基本事件有多少?方法1.转盘模拟：6:306:457:007:157:307:007:157:307:458:00送报时间离开时间你会作吗？动手实践•1.转动每个转盘50次，记录每次转动的结果•2.汇总全班的结果，根据模拟结果估计“父亲在离开家之前拿到报纸”的概率。思考交流•报纸在6:45—7:45之间把报纸送到你家，其他条件不变，则“父亲在离开家之前拿到报纸”的概率相对之前的结论是变大了还是变小了？•报纸在6:45—7:45之间任何一个时间把报纸随机送到你家，则报纸在6:45—7:00之间送到，或你爸爸在7:45—8:00之间离家上班，都使得报纸在你爸爸离家之前拿到报纸，相对于前面的问题这个时间变短了，因此“报纸在你爸爸离家前拿到”的概率变小了。这个概率约为23／32，这个值比7／8要小。2.几何法（几何概型）：Yxyx解以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸(yx),即时间A发生,所以22230602()87.5%.60PA两种方法得到的结果相同吗？练习P157.1•1.哪种类型的实验可以用抛掷一枚硬币来模拟实验？说明理由。•答：因为抛掷一枚硬币只有两个等可能的结果：正面朝上和反面朝上，因此凡是一个随机试验只有两个等可能结果就可以用抛掷一枚硬币来模拟。比如甲乙两人抓阄决定一件奖品的归属，因为只有甲中奖和乙中奖两个等可能结果，所以可以用抛掷一枚硬币来模拟。•2.P157.练习2•答（1）对第一个转盘，可以再随机数表中去掉0，5，6，7，8，9，用1，2，3，4分别表示转盘指针指向的部分。在随机数表中随机选择一开始点，顺次往后，每次产生一个随机数就完成一次模拟。•（2）对第二个转盘，编号为2的部分与为1的部分面积比为165：15=11：1.可以在随机数表中考虑相邻的两个数，这样产生的随机数为00，01，02，03，….99.在产生的随机数中去掉12,13,….99.用00表示指针指向编号为1的部分,分别用01,02,03,…11表示指针指向编号为2的部分.在随机数表中随机选择一个开始点,顺次往后,每次产生一个两位随机数就完成一次模拟.用模拟方法估计概率,每个人的模拟结果可能是互不相同的.练习•3.假设每个人生日在任何一个月的可能性相同，设计模拟方法估计6个人中至少有2个人的生日在同一个月的概率。(动手操作)•解法1：在口袋里装入编号1，2.,….12的12个球,有放回地连续摸6次就完成一次模拟.•解法2:在随机数表中考虑相邻的两个数字.00,01,02,……99.在产生的随机数中去掉00,13,14,….99.用01,02,…,11,12分别表示12个月,每产生一个这样的随机数就表示得到一个人的生日所在的月份.在随机数表中随即选择一个开始殿后,每产生6个这样的随机数就完成一次模拟.•结果:0.78•4.在0----1中随即选择两个数x,y，这两个数对应的点把0---1之间的线段AB分成了3条线段a,b,c.用模拟方法估计这三条线段a,b,c能构成三角形的概率。•解:在随机数表中随机选择一个开始点，每次往后顺次选择3个数，比如256，则它表示0.256。产生两个这样的小数，比如0.256，0.505，则三条线段的长就为0.256，0.249.0.495，这样就完成了一次模拟。•结果：0.25对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立概率模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何问题,利用几何模型概率公式求解