2006年振文中学“元旦”高二数学竞赛试题(新课标)

二00六年振文中学“元旦”高二数学竞赛试题班别姓名分数（时间：100分钟,满分150分）一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分)1、已知xf是奇函数，且对任意整数x都有22xfxf，则2006f=A，2006B，2005C，0D，—20062、函数()sin(2)fxx的一个递增区间是A，(,)24B，(,)2C，3(,2)4D，(0,)43、下列四个说法中，正确的是①，必然事件的概率为1；②，概率为1的随机事件是必然事件；③，不可能事件的概率为0；④，概率为0的随机事件是不可能事件。A，①②③④B①③C，②④D，①②4、当02x时，直线1y与曲线cosyx所围成的图形的面积是A，1B，2C，D，25、函数()log[1,2]xafxax在上的最大值与最小值之差为21aa,则的a值为A，2或21B，2或4C，21或4D，26、若1sinsinyx，则yxcoscos的取值范围是A，]2,2[B，]1,1[C，]3,0[D，]3,3[二、填空题（共6小题,每小题9分,共54分)7、函数2()cossin1fxxx的最大值是.8、若n是正整数，定义n！=1×2×3×…×（n-1）×n,设m=1！+2！+3！+4！+…+2005！+2006！，则m的末位数字为.9、在一个半径为1的球内放置一个体积最大的正方体，再在正方体内放置一个表面积最大的圆锥，则这个圆锥的体积是.10、已知在ABC中，(1,1)AB，(4,2)BC，则ABC的面积等于.11、抛掷两个骰子,所得两个点数之差的绝对值为2的概率等于.12、焦点为1(1,1)F，2(1,1)F，离心率为22的椭圆方程为.三、解答题（共3小题,每小题20分,共60分）.13、已知向量(cos,sin)a，(3,1)b.（Ⅰ）当ab时，求tan2；（Ⅱ）求||ab的最大值.14、定义在(1,1)上的函数()fx满足：①，对任意,(1,1)xy都有()()()1xyfxfyfxy；②，当(1,0)x时，有()0fx；（I），求(0)f的值，并判断()fx的奇偶性；（II），试判断()fx的单调性，并证明你的结论.15、从1、2、3、4这4个数中任取两个数，求它们之积，共有6种情形：12，13，14，23，24，34.（I）求各种积的概率；（II）我们定义：“任两数之积的平均数”=1(121314232463534)6，现从1、2、3、n这n个数中任取两个数相乘，试求其“任两数之积的平均数”的值.（参考公式：(1)122nnn；222(1)(21)126nnnn；3332(1)12[]2nnn）参考答案：一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分)1、C2、A3、B4、D5、A6、D二、填空题（共6小题,每小题9分,共54分)7、28、39、232710、311、2912、2233280xyxy三、解答题（共3小题,每小题20分,共60分）。13、解：（Ⅰ）3cossin0tan3abab，故222tan2(3)tan231tan1(3)；（Ⅱ）因为22||||2||12(3cossin)4abaabbπ54sin5433，当且仅当πsin13时，取得等号，故max(||)3ab。14、解：（I）令0,0xy有(0)(0)(0)fff，得(0)0f，令yx有()()(0)0fxfxf，得()()fxfx，所以()fx为奇函数；（II）设1211xx，可得1210xx，1210xx，1212101xxxx这时121212()()()01xxfxfxfxx，即12()()fxfx。所以()fx在(1,1)上为减函数。15、解：（I）每个积的概率为16；（II）任取两数相乘，共有积的个数是：(1)12(1)2nnn，所以所求的“任两数之积的平均数”=2[12131(1)nnn2324(1)]nn，下面求和：121312324(1)nnn。把这(1)2nn个积排成一个如下的数表：12、13、14、、1n23、24、、2n(2)(1)nn、(2)nn、(1)nn竖着相加得：12+(12)3+(123)4++[12(1)]nn=32222+32332++322nn=3332221[(23)(23)]2nn=333322221[(123)(123)]2nn=221(1)(1)(21)[]246nnnnn=(1)(1)(32)24nnnn所求的“任两数积的平均数”=2(1)nn(1)(1)(32)24nnnn=(1)(32)12nn。