第一学期期末统一考试高三数学(理科)试卷

第一学期期末统一考试高三数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题50分）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos正棱台、圆台的侧面积公式lccS)'(21台侧其中c’、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式hSSSSV)''(31台体其中S’、S分别表示上、下底面面积，h表示高一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项前的字母填在题后的括号内。（1）设集合}12|{xxA}0|{axxB，若BA，则a的取值范围是（）（A）]2,(（B）),1[（C）]1,(（D）),2[（2）已知二面角l，直线a，b，且a与l不垂直，b与l不垂直，那么（）（A）a与b可能垂直，但不可能平行（B）a与b可能垂直，也可能平行（C）a与b不可能垂直，但可能平行（D）a与b不可能垂直，也不可能平行（3）函数kxAxf)sin()(在一个周期内的图象如图所示，函数)(xf解析式为（）（A）1)1221sin(4)(xxf（B）1)122sin(2)(xxf（C）1)621sin(4)(xxf（D）1)62sin(2)(xxf（4）双曲线c：)00(12222，babyax的左、右焦点分别为21，FF，过焦点2F且垂直于x轴的弦O，901BAF，则双曲线c的离心率为（）（A）)22(21（B）12（C）12（D）)22(21（5）如图，O为直二面角MN的棱MN上的一点，射线OE，OF分别在，内，且∠EON=∠FON=45°，则∠EOF的大小为（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°（6）在等差数列}{na中，2n，公差d0，前n项和是nS，则有（）（A）1naSnann（B）nnnaSna1（C）1naSn（D）nnnaS（7）用不着，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数中，若按从小到大的顺序排列，那么12340应是（）（A）第9个数（B）第10个数（C）第11个数（D）第12个数（8）下列四个命题：①满足zz1的复数只有i,1；②若a，b是两个相等的实数，则ibaba)()(是纯虚数；③复Rz的充要条件是zz；④复平面内x轴即实轴，y轴即虚轴。其中正确的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（9）在ABC中，AB2cos2cos，是AB的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）即不充分也不必要条件（10）过抛物线xy42的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点，那么线段PQ中点的轨迹方程是（）（A）122xy（B）222xy（C）122xy（D）222xy第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（11）已知43)1(xxf，则)1(1xf=________________。（12）在一个棱长为cm65的正四面体内有一点P，它到三个面的距离分别是1cm，2cm，3cm，则它到第四个面的距离为_______________cm。（13）设等比数列)1}({1qqn的前n项和为nS，前n+1项的和为1nS，则1nnnSSiml=___________________。（14）抛物线2xy和圆1)3(22xx上最近两点的距离是_________________。三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分14分）解关于x的不等式（Ⅰ）)212lg()21lg()3lg(xxx；（Ⅱ）)21227lg()21227lg()21lg()3lg(mxxmxxxx，其中351m。（16）（本小题满分14分）已知：定义在R上的函数)(xf为奇函数，且在),0[上是增函数。（Ⅰ）求证：)(xf在)0,(上也是增函数；（Ⅱ）对任意R，求实数m，使不等式0)sin2()32(cosmff恒成立。（17）（本小题满分14分）在长方体ABCD—1111DCBA中，AB=2，11BCBB，E为11CD的中点，连结ED，EC，EB和DB。（Ⅰ）求证：平面EDB⊥平面EBC；（Ⅱ）求二面角E-DB-C的正切值；（Ⅲ）求异面直线EB和DC的距离。（18）（本小题满分14分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池（平面图如图所示），池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚度忽略不计）。（Ⅰ）污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；（Ⅱ）如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低。（19）（本小题满分14分）P为椭圆c：)0(12222babyax上除)0,(1aA，)0,(2aA的两点外的一点。（Ⅰ）求直线1AP与PA2的斜率的乘积；（Ⅱ）设P（x，y），求证：||)(222221ybaabarctgPAA；（Ⅲ）设21PAA，求证：ctgbabaSPAA2222221。（20）（本小题满分14分）已知函数Nnnf),(，满足条件：①2)2(f；②)()()(yfxfxyf；③Nnf)(；④当xy时，有)()(yfxf。（Ⅰ）求f(1)，f(3)的值；（Ⅱ）由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；（Ⅲ）证明你猜想的f(n)的解析式的正确性。高三期末试卷数学（理工农医类）参考答案及评分标准2004.1一、选择题12345678910BBDCCABACD二、填空题11.x3112.413.q114.11121三、解答题15.解：（Ⅰ）)212()21lg()3lg(xxx，.212)21()3(,021,03xxxxx…………………………………………4分.0123,3212xxx……………………………………………………6分∵0167)43(12322xxx，……………………………………7分∴原不等式的解集为321|xx。……………………………………8分（Ⅱ）)351)(21227lg()21lg()3lg(mmxxxx，等价于).351(,21227)21()3(,021,03mmxxxxxx).351(,012,3212mmxxx))35,1(),3,21((,12mxxxm。………………………………10分令直线)451(,2:mmyl，曲线)3,21(,1:xxxyc，作出直线l与曲线c的图象。（1）当2522m，即451m时，直线l与曲线c有两个公共点，公共点的横坐标是1,12221mmxmmx，此时不等式的解集为)3,1[]1,21(22mmmmx。……………………………………12分（2）当310225m，即3545x时，直线l与曲线c有一个公共点，公共点的横坐标是12mmx，此时不等式的解集为)3,1[2mmx。…………14分16.（Ⅰ）证明：设)0,(,21xx，且21xx，则),0(,21xx，且21xx。…………………………2分∵)(xf在),0[上是增函数，∴)()(21xfxf…………………………………………………………4分又)(xf为奇函数，∴)()(21xfxf……………………………………6分∴)()(21xfxf。∴)(xf在)0,(上也是增函数。…………………………………………8分（Ⅱ）∵函数)(xf在)0,(和),0[上是增函数，且)(xf在R上是奇函数∵)(xf在),(上是增函数。…………………………………………10分∵0)sin2()32(cosmff，∴)sin2()32(cosmff。)2(sin)32(cosmff，m2sin32cos，………………………………………………12分2sinsin222m，161541sin2m。∵当1sin时，161541sin2的最大值为212，∴当212m时，不等式恒成立。…………………………………………14分17.（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-1111DCBA中，AB=2，11BCBB，E为11CD的中点。∴EDD1为等腰直角三角形，451EDD。同理451ECC。∴90DEC，即DE⊥EC。……………………………………………2分在长方体ABCD-1111DCBA中，BC⊥平面11DCCD，又DE平面11DCCD，∴BC⊥DE。……………………………………………………………………4分又CBCEC，∴DE⊥平面EBC。∵平面DEB过DE，∵平面DEB⊥平面EBC。……………………………………………………5分（Ⅱ）解：如图，过E胡平面11DCCD中作EO⊥DC于O。在长方体ABCD-1111DCBA中，∵面ABCD⊥面11DCCD，∴EO⊥面ABCD。过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF∴EF⊥BD。∠EFO为二面角E-DB-C的平面角。………………………………7分利用平几知识可得5151EFO，tg，OEOF。…………………………10分（Ⅲ）解：E在11CD上，B在AB上，在长方体ABCD-1111DCBA中，11//CDAB，∴EB在平面11DABC内。又∵DC//AB∴DC//平面11DABC。直线DC到平面11DABC的距离就等于异面直线DC和EB的距离。………………12分在长方体ABCD-1111DCBA中，平面11DABC⊥平面11BBCC，连结1BC，在平面1BCC中，过C作1BCCH。CH⊥平面11DABC，CH为所求的距离。∴2211BCCCBCCH。…………………………………………………………14分18.（Ⅰ）解：设污水处理池的长为x米，则宽为x200米。………………………2分总造价2006020010020022400)(xxxxf。…………………4分12000225800xx120002251600xx=36000（元）………………………………………………………………6分当且仅当)0(225xxx时，即x=15等号成立。答：当污水处理池的长为15米（宽为3113米）时，总造价最低。………………8分（Ⅱ）解：依（Ⅰ）有总造价3600012000)225(800)(xxxf，当且当x=15等号成立，5.1415，从而考虑条件：.21142000,21140xx即]2114,292313(x，)(xf在]2114,292213(上的单调性。……………………10分设]2114,292313(,21xx，且21xx。由于)]11(225)[(800)()(121212xxxxxfxf)2251)((8001212xxxx。………