高考数学第二章第6讲

第6讲指数与指数函数第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．根式(1)根式的概念①若________，则x叫做a的n次方根，其中n1且n∈N*.式子________叫做根式，这里________叫做根指数，________叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒x＝na，当n为奇数且n∈N*时，x＝________，当n为偶数且n∈N*时.xn＝anana±na栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)根式的性质①(na)n＝a(n∈N*)．②nan＝a，n为奇数，________＝a，a≥0，－a，a0，n为偶数.|a|栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：amn＝________(a0，m，n∈N*，且n1)；②负分数指数幂：a－mn＝________＝________(a0，m，n∈N*，且n1)；③0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________．nam1amn1nam0无意义栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝________(a0，r，s∈Q)；②(ar)s＝________(a0，r，s∈Q)；③(ab)r＝________(a0，b0，r∈Q)．ar＋sarsarbr栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．指数函数的图象与性质y＝axa10a1图象定义域________值域________性质过定点________当x0时，____________________；当x0时，__________________；当x0时，____________________当x0时，________在R上是增函数在R上是减函数R(0，＋∞)(0，1)y10y10y1y1栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a1或0a1.(3)在解形如a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．(必修1P51例2改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为()A．－9B．7C．－10D．9B2．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是()A．f(x)＝x12B．f(x)＝x3C．f(x)＝12xD．f(x)＝3xD栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：f(x)＝x12，f(x＋y)＝(x＋y)12≠x12·y12，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，A不满足题意．f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，B不满足题意．f(x)＝12x，f(x＋y)＝12x＋y＝12x·12y，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝12x不是增函数，C不满足题意．f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3x是增函数，D满足题意．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．(2016·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A．y＝1－xB．y＝|x－2|C．y＝2x－1D．y＝log2(2x)A解析：由f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y＝1－x的图象上．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．(2015·高考江苏卷)不等式2x2－x4的解集为_______________________．解析：因为2x2－x4，所以2x2－x22，所以x2－x2，即x2－x－20，所以－1x2.{x|－1x2}(或(－1，2))栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：由题意知0a2－11，即1a22，得－2a－1或1a2.5．(必修1P60习题2.1B组T1改编)若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是____________________________．(－2，－1)∪(1，2)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用化简下列各式：(1)0.027－13－17－2＋27912－(2－1)0；(2)56a13b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23b－3)12·ab.考点一指数幂的运算栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)原式＝271000－13－72＋25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝－52a－16b－3÷(2a13b－32)·a12b12＝－54a－12b－32·a12b12＝－54b－1＝－54b.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[注意]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.化简下列各式：(1)(0.027)23＋27125－13－2790.5；(2)14－12·（4ab－1）3（0.1）－1·（a3·b－3）12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解：(1)原式＝0.32＋1252713－259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab－1）3210a32b－32＝16a32b－3210a32b－32＝85.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)函数y＝ax－1a(a＞0，且a≠1)的图象可能是()(2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为____________________．考点二指数函数的图象及应用D{0}∪[1，＋∞)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析](1)法一：当a＞1时，y＝ax－1a为增函数，且在y轴上的截距为0＜1－1a＜1，此时四个选项均不对；当0＜a＜1时，函数y＝ax－1a是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知选D.法二：因为函数y＝ax－1a(a＞0，且a≠1)的图象必过点(－1，0)，所以选D.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用若将本例(2)变为函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？解：由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k∈(－∞，0]．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．D1栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现，高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度：(1)比较指数幂的大小；(2)解简单的指数方程或不等式；(3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围．考点三指数函数的性质及应用(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)已知a＝1223，b＝2－43，c＝1213，则下列关系式中正确的是()A．cabB．bacC．acbD．abcB栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)(2016·泰安模拟)下列函数中，与函数y＝ex，x≥0，1ex，x0的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－1xB．y＝x2＋2C．y＝x3－3D．y＝log1e|x|(3)(2015·高考山东卷)已知函