高考数学三角函数总结及统练

三角函数总结及统练一.教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1.与角终边相同的角的集合},2{ZkkS2.三角函数的定义（六种）——三角函数是x、y、r三个量的比值3.三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。4.三角函数线正弦线MP=sin余弦线OM=cos正切线AT=tan5.同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cottan1cscsin1seccos口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。6.诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。k2222正弦sinsinsinsinsincoscos余弦coscoscoscoscossinsin正切tantantantantancotcot余切cotcotcotcotcottantan7.两角和与差的三角函数tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(8.二倍角公式——代换：令22222tan1tan22tansincossin211cos22coscossin22sin降幂公式22cos1cos22cos1sin22半角公式：2cos12sin；2cos12cos；cos1cos12tancos1sinsincos12tan9.三角函数的图象和性质函数xysinxycosxytan图象定义域RRZkkxRxx,2|且值域最值]1,1[2/2kx时1maxykx22/时1miny]1,1[kx2时1maxykx2时1minyR无最大值无最小值周期性周期为2周期为2周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在]22,22[kk上都是增函数；在]232,22[kk上都是减函数（Zk）在]2,2[kk上都是增函数，在]2,2[kk上都是减函数（Zk）在2,2kk内都是增函数（Zk）10.函数)sin(xAy的图象变换0,0A函数)sin(xAy的图象可以通过下列两种方式得到：（1）倍横坐标缩短到原来的图象左移1)sin(sinxyxy)sin(xy)sin(xAyA倍纵坐标伸长为原来的（2）图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin1xyxy)sin(xy)sin(xAyA倍纵坐标伸长为原来的（二）数学思想与基本解题方法1.式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。2.诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。3.估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。4.角的和与差的相对性如：)(－角的倍角与半角的相对性如：422,225.升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。6.数形结合：心中有图，观图解题。7.等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。8.换元的手段：通过换元实现转化的目的。【典型例题】1.如：abxbaxbxaytan),sin(cossin22（化成一个角的一个三角函数）)6sin(2cossin3)3sin(2cos3sin)4sin(2cossinxxxyxxxyxxxy；[例1]求下列函数的最大值和最小值及何时取到？（1）xxxxxf22cos3cossin2sin)(（2）1cossinsin)(2xxxxf解：（1）)42sin(22xy，22maxy，)(8Zkkx)(83,22minZkkxy（2）)42sin(2223xy，223maxy，)(83Zkkx223miny，)(8Zkkx2.“1”的妙用——凑一拆一熟悉下列三角式子的化简)4sin(2cossincossin21)42sin(22cos2sin2cos2sin21sin12sin2cos1；2cos2cos1[例2]化简8cos228sin12。答案：4sin23.化异为同[例3]已知2tan，求：（1）cossincossin（2）222sincos32sin答案：（1）3；（2）14[例4]已知2,222tan，求：cossin1sin2cos22答案：2234.cossin与cossin间的相互转化（1）若tcossin，则21cossin2t；1sin2t；cossin=22t（2）若tcossin，则t21cossin；t21cossin（3）2sin2cossin1cottan[例5]化简：8cot8tan。答案：22[例6]若在第二象限，252cos2sin，求2cos2sin。答案：235.互为余角的三角函数相互转化若2，则cossin；sincos[例7]已知41)3sin(，则)6cos(。答案：41[例8]求值：10cos50sin40sin。答案：21[例9]求值：54sin18sin。答案：416.公式的变形及活用（1）]tantan1)[tan(tantan（2）若2)tan1)(tan1(4BABA[例10]计算)45tan1()3tan1)(2tan1)(1tan1(。答案：232[例11]10tan70tan310tan70tan。答案：37.角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性[例12]若2)tan(,31tan，则tan。答案：7[例13]若02cos7)2cos(5，则2tan2tan。答案：6[例14]在ABC中，A为最小角，C为最大角，且8.0)2cos(CA，8.0sinB，求)22cos(CB的值。答案：6255278.角的范围的限定由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。[例15]已知),0(,31cossin，求2cos。答案：917[例16]若是第二象限角且252cos2sin，求2cos2sin的值。解法一：利用公式sin1)2cos2(sin2然后限定角的范围。解法二：设t2cos2sin利用平方和求t的值，然后限定角的范围。解法三：利用)2cos2)(sin2cos2(sincos，可回避限定角的范围。答案：239.在三角形中的有关问题180CBA；CBA180；222CBA结论：CBAsin)sin(；CBAcos)cos(2cos2sinCBA；2sin2cosCBA[例17]已知A、B、C是ABC的内角且2lgcoslgsinlgsinlgCBA，试判断此三角形的形状。答案：等腰三角形，B=C[例18]在锐角三角形ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin证明：由2BA则220AB故BAcossin同理CBcossinACcossin三式相加，得证。10.形如n2cos8cos4cos2cos的化简[例19]求值：（1）72cos36cos（2）74cos72cos7cos答案：（1）41（2）8111.三角函数图像和性质的应用会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。[例20]求下列函数的定义域。（1）)sin(coslgxy（2）xxytanlog25.0答案：（1）))(22,22(Zkkk（2）]4,[)2,0([例21]求下列函数的值域。（1）],0[sin2sinxxxy（2）若x是锐角，则xxycossin的值域。答案：（1）]31,0[（2）]2,1(12.可化为形如：BxAy)sin(的形式（一个角的一个三角函数）[例22]已知函数xxxxy22sincossin32cos3，求“一套”。答案：2)62sin(2xy，定义域：R；值域：]4,0[，4maxy，0miny；T对称轴)(62Zkkx增区间：]6,3[kk减区间：)](32,6[Zkkk13.函数BxAy)sin(的图像的变换——两个题型，两种途径题型一：已知解析式BxAy)sin(确定其变换方法变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系题型二：由函数图像求其解析式BxAy)sin([例23]已知函数)sin(xAy，（0,0A，2）在一个周期内，当6x时，y有最大值为2，当32x时，y有最小值为2，求函数表达式，并画出函数)sin(xAy在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）答案：)62sin(2xy14.可化为形如：cbtaty2，Dt（定义域有限制的一元二次函数）[例24]求函数)cos5)(cos2(3xxy的值域解：]21,41[[例25]已知xaxysin2cos，若记其最大值为)(ag，求)(ag的解析式。解：41)2(sin22aaxy，当2a时，)(aga当22a时，41)(2aag当2a时，aag)(15.周期函数与周期[例26]已知函数)(xfy对定义域中每一个x都有)2()2(xfTxf，其中0T，则)(xf的周期。解：T[例27]已知奇函数)(xfy对定义域中每一个x都有)()2(xfxf成立，求其周期。解：4[例28]已知奇函数)(xfy对定义域中每一个x都有)2()2(xfxf成立，求其周期。解：8[例29]已知奇函数)(xfy对定义域中每一个x都有)(1)3(xfxf成立，求其周期。解：6[例30]已知奇函数)(xfy对定义域中每一个x都有)(1)(1)3(xfxfxf成立，求其周期。解：616.函数与方程的思想[例31]方程xxsin100的解的个数。解：63【模拟试题】（答题时间：60分钟）1.求下列函数的最大值和最小值及何时取到？xxxf66cossin)(2.已知2tan，求：22cos3cossin2sin3.设41cossin，则cossin。4.求xxxxycossincossin的最大值和最小值。5.求值：40cos170sin)10tan31(50sin40cos。6.若51cossin；),0