高考数学直线圆、圆锥曲线练习

直线圆圆锥曲线一，基础知识椭圆双曲线抛物线定义与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程22221xyab(或22221xyba),22221xyab(或22221yxab)22ypx(或22xpy)参数方程cossinxayb(或sincosxbya)sectanxayb(或tansecxbya)222xptypt(或222xptypt)焦点(,0)c或(0,)c(,0)c或(0,)c(,0)2p或(0,)2p正数a,b,c,p的关系222cab(0ab)222cab(0,0ab)离心率1cea1cea1e准线2axc(或2ayc)2axc(或2ayc)2px(或2py)渐近线byxa(或bxya)焦半径10PFaex20PFaex(或10PFaey20PFaey)10PFexa20PFexa(10PFeya,20PFeya),(点P在左或下支)02pPFx(或02pPFy)统一定义到定点的距离与到定的距离之比等于定值的点的集合,(注:焦点要与对应准线配对使用)二，跟踪训练1，（05广东）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.2，（05广东）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DCO（A）BCDxy上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.3,(04全国I)双曲线C：2221xya（0a）与直线l：1xy相交于两个不同的点A，B．（I）求双曲线C的离心率e的取值范围；（II）设直线l与y轴的交点为P，且512PAPB，求a的值。4，（05重庆）已知椭圆1C的方程为2214xy，双曲线2C的左，右焦点分别为1C的左，右顶点，而2C的左，右顶点分别是1C的左，右焦点。（I）求双曲线2C的方程；（II）若直线l：2ykx与椭圆1C及双曲线2C都恒有两个不同的交点，且l与2C的两个交点A和B满足6OAOB（其中O为原点），求k的取值范围。5，（04广东）设直线l与椭圆2212516xy相交于A，B两点，l又与双曲线221xy相交于C，D两点，C，D三等分线段AB。求直线l的方程。三，简明提示1，（I）设1122(,),(,),(,)GxyAxyBxy，则消去1212,,,xxyy得2223yx；（II）222244112212111()()2222AOBSOAOBxyxyxx21212()212xx，当4412xx，即121xx时，等号成立。2，解：设点A落在DC上的点E处，则折痕所在的直线是线段AE的垂直平分线(Ⅰ)AE的方程为：1yxk①E点的纵坐标恒为1，代入①得E点横坐标为k，由：02k，得20k折痕的方程为：22AEAEyyxxykx得：212kykx（其中20k）②(II)若折痕所在直线与y轴的交点的纵坐标大于1，则折痕与线段CD有交点若折痕所在直线与直线2x的交点的纵坐标小于0，则折痕与线段AB有交点对于折痕上的点（x，y）当0x时，令01y，得：201k，又20k，所以10k即：当10k时，折痕与线段AD有交点③当21k时，折痕与线段DC有交点④当2x时，令01y，得2325k，又20k，所以230k即：当230k时，折痕与BC的边有交点⑤当223k时，折痕与线段AB有交点⑥综合③、④、⑤、⑥。记折痕的长度为fk（1）当230k时，折痕的两个端点分别在AD、BC上2221121fkxxkk当23k时，fk有最大值423=2(62)（2）当123k时，折痕的两个端点分别在AB、AD上2223212221111(1)122kkkfkyykkk设2tk，232(1)kgtk，则21333gttt（22231t）对gt求导数，则：2221211'23ttgtttt解'0gt，得1t（舍去）或12t，而2212312因此：gt的最大值22maxmax{23,1}gtgg从而得到：maxmax{23,1}fkff（3）当21k时，折痕的两个端点分别在AB、CD上21221111fkyykk当1k时，fk有最大值2综合（1）、（2）、（3），得，当23k时，fk有最大值2(62)。3，（I）由22211xyaxy，得2222(1)220axaxa①，有02a且1a，22111aeaa，得e的取值范围为6(,2)(2,)2；（II）设1122(,)(,),(0,1)AxyBxyP，由512PAPB，得11225(,1)(,1)12xyxy，有12512xx，得222172211axa，222252121axa，消去2x，得1713a。4，（I）设所求的方程为22221xyab，则22223,1abca，有2213xy；（II）由22142xyykx有两个不同解得214k①，由22132xyykx有两个不同解得73k且21k②，由6OAOB得2237631kk，即21315k或213k③由①，②，③得k的取值范围是13311313(1,)(,)(,)(,1)15322315。5，解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：),(),,(),,(),,(44332211yxDyxCyxByxA依题意有CDABDBAC3,，由2212516ykxbxy得222(1625)2(25400)0...(1)kxbkxb122501625bkxxk22222(1)2(1)0...(2)1ykxbkxbkxbxy由得若1k，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故1k24312kbkxx由43214213xxxxxxxxDBAC13161616410),(331)2(,1645)1(,0)(0001225165022341224,322,122bbbxxxxCDABbxbxkibkbkkbkkbk即由得由得由时当或故l的方程为1316y(ii)当b=0时，由(1)得24,322,111)2(,251620kxkx得由251616251640)(33223412kkkxxxxCDAB即由故l的方程为xy2516再讨论l与x轴垂直的情况.设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，221,23,4425,15ycyc，2143||3||||3||ABCDyyyy由2282524125615241ccc即，25241241lx故的方程为综上所述，故l的方程为1316y、xy2516和24124125x。