高三第三次模拟考试数学(理科)

江西省宜春市2007届高三第三次模拟考试数学（理科）试题4月22日命题人：吴连进（高安教育集团）熊星飞（宜丰中学）李希亮审校人：李希亮胡鸿（宜春中学）I卷（注意：请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷上）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{0,1}P，{|1,}QyyxxP，则P与Q的关系为（）A．PQB．PQC．PQD．PQ2．命题p：不等式11xxxx的解集为(0,1)，命题q：在△ABC中，“AB”是“sinsinAB”成立的必要非充分条件，则()A.p真q假B．p且q为真C．p或q假D．p假q真3．等式“tan()tan2”成立是“、、成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若函数()4sin()fxx对任意x都有()()66fxfx，则()6f()A．8B．4C．－4D．－4或45．设,ab是正实数，以下不等式：1(1)2ab；22(2)2()abab；2(3)ababab；(4)||aabb，其中恒成立的有：A．(1)(2)B．(2)(3)C．(3)(4)D．(2)(4)6．等差数列{}na中，若378,20aa，新数列11{}nnaa的前n项和为254，则n的值为()A．14B．15C．16D．187．已知△ABC的顶点,BC在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC上，则△ABC的周长为（）。A．23B．6C．43D．128．()()fxxR为奇函数，1(1),(2)()(2),2ffxfxf则(5)f（）A．0B．1C．52D．59．当太阳斜照或直照时，放在水平地面上的长方体箱子，在地面上影子的形状是（）A．四边形或五边形B．四边形或六边形C．五边形或六边形D．四边形或五边形或六边形10．在1，2，3，4，5的排列1a，2a，3a，4a，5a，中，满足12aa，23aa，34aa，45aa的排列个数是（）A．10B．12C．14D．1611．下列函数图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与0.5logyx的图象重合的是（）A．2xyB．42logyxC．2log(1)yxD．142xy12．在正三棱锥SABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MNAM，23SA，则此三棱锥SABC外接球的表面积为（）A．12B．32C．36D．48二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．己知复数z满足||812zzi，则z。14．已知,ab为实数，0a，lim()0nnbab，那么a与b的关系为。15．己知,xy满足10262xyxyxyt，其中实数[4,8]t，则目标函数zxy的最大值的变化范围是。16．A、B是双曲线22145xy右支上的两点，若弦AB的中点到y轴的距离是4，则AB的最大值是。宜春市2007届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题Ⅱ卷（注意：请将第Ⅰ卷答案填在此卷上）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.14.15.16.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答写出必要的文字说明，注明过程及演算步骤）17．（本小题满分12分）如右图所示，已知函数()fxsincos(,,0)axbxabR的一部分图象.（1）求,,ab的值，讨论函数在(2,6]上的单调性；（2）12,(2,6]xx，且12xx，求证：21()()1fxfx。18．（本小题满分12分）根据某地区的高考录取情况统计：高考录取中，上线考生第一次被录取的概率为0.6；若第一次未被录取，则通过补报志愿，第二次被录取的概率为0.75。求：（1）在高考录取中某上线学生被录取的概率为多少？（2）若某小组有5位同学上线，则这5位同学中第一次就有4人被录取的概率为多少？（假设学生之间的录取是相互独立的）（3）在条件（2）中，5位上线同学被录取人数的期望是多少？19．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABCABC的底面是直角三角形，090C，侧棱与底面所成的角为，点1B在底面上的射影D落在BC上．（1）求证：11ACBBCC平面；（2）当为何值时，11ABBC且D恰为BC中点？（3）若1arccos3，且1ACBCAA时,求二面角1CABC的大小．20．(本题满分12分）设函数22()(1)ln(1)fxxx(1)求()fx的单调区间；(2)若当1[,1]xee时，不等式()fxm恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程2()fxxxa在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.C1ABCDA1B121．(本小题满分12分)已知AB是抛物线22(0)xpyp的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线.m为过A点且以(0,1)为方向向量的直线.(1)若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：||||AFCF；(2)若20OAOBp(A、B异于原点)，直线OB与m相交于点M，试求点M的轨迹方程；(3)若AB为焦点弦，分别过A、B点的抛物线的两条切线相交于点T,求证：ATBT，且T点在l上.22．（本小题满分14分）已知等差数列}{na的首项为a，公差为b；等比数列}{nb的首项为b，公比为a，其中,Nab，且32211ababa．（1）求a的值；（2）若对于任意Nn，总存在Nm，使nmba3，求b的值；（3）在（2）中，记}{nc是}{na中所有满足nmba3的项从小到大依次组成的数列，又记nS为}{nc的前n项和，nT为}{na的前n项和，求证：nS≥nT)(Nn．宜春市2007届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案AADDBCCCBDDC二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.512i14．2ab15．1014[,]3316．8三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答写出必要的文字说明，注明过程及演算步骤）17．(1)由题意得22()sin()fxab.当xR时，()fx的最大值22ba与最小值22ab互为相反数，设()fx的最小正周期为T，由图知32422T，得6T.又2||T,0，于是26，得13.这时，11()sincos33fxaxbx，它经过两点(,0)2,(2,2)得232cos32sin06cos6sinbaba有2212302321baba，解之，得3,1ab所以3,1ab，13……………………………………………4分得()fx=3sin31x－cos31x=2sin(31x－6)，所以()fx在(2,5]上单调递减；在(5,6]上单调递增.……………………………………………………6分(2)当125x时，讨论2x的取值：①若225x，由12xx，()fx在(2,5]上单调递减，得21()()0fxfx；②若256x时，则211()()(6)()1(2)1fxfxffx……10分当156x时，12xx，211()()(6)()1(2)1fxfxffx综上所述，21()()1fxfx……………………………………………………12分18．解：（1）记事件m：上线考生第一次被录取记事件n：上线考生第一次未被录取，补报志愿第二次被录取依题意，得：()0.6Pm()0.40.750.3Pn…………3分显然事件m与事件n是互斥事件所以()()()0.60.30.9PmnPmPn……………6分（2）依题意，知：5位上线同学第一次有3人被录取的概率33255(3)0.60.40.3456PC………………………………9分（3）因为每位上线同学中，最后被录取的概率为0.9，且同学之间被录取与否是相互独立的，所以5位上线学生中被录取的人数(5,0.9)B……10分所以50.94.5E…………………………………………12分19．解：（1）∵1BDABC平面，ACABC平面∴11,,BDACACBCBCBDD又∴11ACBBCC平面…………………………3分(2)∵11ACBBCC平面，要使11ABBC，由三垂线定理可知，只须11BCBC…………………………5分∴平行四边形11BBCC为菱形，此时，1BBBC．又∵1BCBD,要使D为BC中点，只须11BCBB，即△1BBC为正三角形，∴0160BBC…………………………7分∵1BDABC平面，且D落在BC上，∴1BBC即为侧棱与底面所成的角．故当060时，11ABBC，且使D为BC中点………………………8分（3）过1C作1CEBC于E，则1CEABC平面。过E作EFAB于F，由三垂线定理，得1CFAB∴1CFE是所求二面角1CABC的平面角．……………………10分设1ACBCAAa，在1RtCCE中，由11arccos3CBE，1223CEa．在RtBEF中，045EBF，22EF223BEaa．∴0145CFE，故所求的二面角1CABC为045．………………12分20．解：(I)函数定义域为(,1)(1,)，因为12(2)'()2[(1)]11xxfxxxx……………………………2分由'()0fx，得21x或0x；由'()0fx，得2x或10x.所以递增区间是[2,1),[0,)，递减区间是(,2],(1,0]………………4分(2)由(1)知，()fx在1[1,0]e上递减，在[0,1]e上递增.又211(1)2fee，2(1)2fee，且22122ee，所以1[1,1]xee时，2max()2fxe……………………………………………………………………6分故22me时，不等式()fxm恒成立.…………………………………………8分(III)方程2()fxxxa，即：21ln(1)0xax.记2()1ln(1)gxxax所以21'()111xgxxx.由'()0gx，得1x或1x；由'()0gx，得：11x.所以()gx在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，为使2()fxxxa在[0,2]上恰好有两个相异的实根，必须且只需()0gx在[0,1]和(1,2)上各有一个实根，于是有0)2(0)1(0)0(ggg，解之，得22ln232ln3a.……………………12分21．(1)如图所示，设11(,)Axy，易知点A即为切点.∵'xyp，∴1ACxkp，于是AC的方程为：111()xyyxxp，即：11xyxyp,令0x，得1yy即1(0,)Cy由抛物线的定义可知，1||2pAFy.又11||()22ppCFyy∴||||AFCF.………………………………………………………………4分(2)设1122(,),(,),AxyBxy，∵OA·20OBp，∴212120xxyyp，∴1222212204xxxxpp