高三数学专题十二探索性问题练习

高三数学专题十二探索性问题练习跟踪练习一、选择题1．已知集合M={x|x=4k,k∈Z}，N={x|x=4k,k∈Z},P={x|x=kπ+4,k∈Z}，则下列关系成立的是（）A．PNMB．P=NMC．PN=MD．P=N=M2．在△ABC中，sinAsinB是AB成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．幂函数f(x)与g(x)的图像分别过点(3,9)与(8,32)，则不等式f(x)≥g(x)的解集是（）A．(-∞,0]∪[1,+∞)B．(,-∞,1]C．(-1,1]D．(-1,0]∪[1,+∞)4．若sinθ·cosθ=81,且4θ2，则cosθ-sinθ的值为（）A．-43B．43C．-23D．235．已知直二面角α—l—β，直线mα，直线nβ，且m、n均不与直线l垂直，则（）A．m与n不可能垂直，但可能平行B．m与n可能垂直，但不可能平行C．m与n可能垂直，也可能平行D．m与n不可能垂直，也不可能平行6．双曲线3)2(2x-(y-1)2=-1的两个焦点坐标是（）A．(4,1)、(0,1)B．(2,3)、(2,-1)C．(3,1)、(-1,1)D．(2，4)、(2,0)7．已知aa2b0,m=logbab,n=logaba,p=logab,g=logba,则m、n、p、g的大小关系是（）A．gnmpB．nmpgC．ngmpD．ngpm8．使不等式arccosxarccos(1-x)成立的x的取值范围是（）A．(0,1)B．[0,21)C．(0,21)D．(-1,21)9．在(1+x)2+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n-5的（）A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项10．极坐标方程是ρ=asinθ和ρ=bcosθ的两个圆的圆心距是（）A．22baB．2122baC．2abD．a+b11．不等式22xa2x+a(a0)的解集是（）A．{x|x0或x-45a}B．{x|-2axa}C．{x|0x≤a}D．{x|-a≤x-45a或0x≤a}12．9位师范大学毕业生，其中3男6女，统一分配到三所高级中学，使每所中学恰分到1男2女，则可能的分案的种数是（）A．P33C93C63B．C63C42（P33）2C．540D．720二、填空题13．函数y=sin2x+sinx·cosx的值域是。14．已知定点A(-23),F是椭圆162x+122y=1的右焦点，点M在椭圆上移动，则当|AM|+2|MF|取最小值时，点M的坐标是。15．如图12-9，ABC—A1B1C1是直三棱柱∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是。16．若(x2-x1)n的展开式中含x的项为第6项，设(1-x+2x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a1+a2+a3+…+a2n=。三、解答题17．设0θ2π，复数z=1-cosθ+isinθ,u=a2+ai,zu是纯虚线(a∈R)，问w=z2+u2+2zu能否为正实数？为什么？18．四面体ABCD中，AD=2，其余的各棱长均为1，那么互相垂直的面有哪几对？并证明你的结论。19．由下列各式：121,1+21+311,1+21+…+7132,1+21+…+1512，你能得出怎样的一般结论？证明你的结论。20．过点B（1，1）能否作直线m，使m与双曲线x2-22y=1交于两点Q1、Q2，且B是线段Q1Q2的中点，说明理由。21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，且b,a,c成等差数列，b≥c，已知B(-1,0),C(1,0)。（1）求顶点A的轨迹L；（2）是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q，且|PQ|恰好等于原点到直线m的距离的倒数？若存在，求出m的方程，若不存在，说明理由。22．设0a1，数列{an}是首项为a，公比为-a的等比数列，bn=anlg|an|，是否存在自然数M，使得对任意的自然数n，都有bn≤bM?证明你的结论。参考答案1.A2.C3.A4.C5.A6.B7.C8.B9.C10.B11.C12.C13.[221,221]14.(23,3)15.103016.25517.[解]不能，假定w为正实数，w=(z+u)2,则z+u为非零实数，z+u=1-cosθ+a2-i(sinθ+a),∴sinθ+a=0,∴a=-sinθ①，又由zu=[(1-cosθ)a2-asinθ]+i[a(1-cosθ)+a2sinθ]为纯虚数，则0sin)cos1(0sin)cos1(22aaaa∴a≠0且a=cos1sin②由①②得-sinθ=cos1sin∵a≠0,sinθ≠0∴cosθ=2，这不可能。18．[解]平面ABD⊥ACD，取AD中点M，可证∠BMC=90°。19．[解]1+21+31+…+121n2n且数学归纳法证n=1成立，设n=k成立，1+21+31+…+121k2k,则n=k+1时，左=（1+21+31+…+121k）+项共kkkkk21221121212k+1221kk2k+21=21k即n=k+1时亦成立，以下略20．[解]设直线m存在，且与双曲线交于点Q1（x1,y1）Q2(x2,y2)，则由121222222121yxyx可得到:（x1-x2）（x1+x2）+21（y1-y2）（y1+y2）=0①,∵x1+x2=2,y1+y2=2，若x1=x2，直线为x=1显然x=1不符题设条件，所以x1≠x2，因此由①得1212xxyy=2即直线的斜率为2，∴直线m的方程为y=2x-1但是实际上方程组121223yxxy无解，即直线与双曲线无交点。∴满足条件的直线m不存在。21．【解】（1）由题设知b+c=2a，|BC|=2,∴|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4,又b≥c，故由椭圆的定义知，点A的轨迹L是左半个椭圆（去掉左顶点），轨迹方程为：42x+32y=1（-2x≤0）。（2）假设存在直线m满足题意，①当m斜率存在时，设m的方程为y=k(x+1)，把它代入椭圆方程，消去y得(4k2+3)x2+8k2x-12=0，设P(x1,y1)Q(x2,y2)，则x1+x2=-34822kk，x1·x2=3412422kk，又由x1≤0,x2≤0，即x1x2≥0,∴k2≥3所以|PQ|=]4))[(1(212212xxxxk=34)1(1222kk设原点O到直线m的距离d=1||2kk,∵|PQ|=d1,∴34)1(1222kk=||12kk，得k2=32331533，这与k2≥3矛盾，表明直线m不存在。②当斜率不存在时，m的方程为x=-1，此时|PQ|=|y1-y2|=3,d=1|PQ|≠d1，所以不满足题设，综上，满足题设的条件不存在。22．[解]存在，只要取M=2[211a]，其中[211a]表示不超过211a的最大整数，由题意an=(-1)n-1an∵bn=anlg|an|=(-1)n-1nanlga∵0a1,∴lga0∴当n为奇数时，bn0当n为偶数时，bn0若存在M，使bnbm恒成立，则M为偶数，且只需考虑n为偶数的情况。设M=2k，则222222kkkkbbbb即aakakaaakakakkkklg)22(lg2lg)22(lg2222222注意：lga0，得221aa≤k≤211a即211a-1≤k≤211a，k为整数。∴k=[211a],M=2k=2[211a]（符号[x]表示x的整数部分）