华南师大附中培优试题1

培优练习（1）2004－02－24一、选择题：1、已知函数)(1xfy的图象过（1，0），则)121(xfy的反函数的图象一定过点（）A．（1，2）B．（2，1）C．（0，2）D．（2，0）2、从P点引三条射线PA，PB，PC，每两条射线夹角为60°，则平面PAB和平面PBC所成二面角正弦值为（）A．322B．36C．33D．233、已知x，y满足不等式组22224222yxyxtyyxxy则的最小值为（）A．59B．2C．3D．24、在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱AA1，BB1上的点，且知BB0:B0B1=3:2，过A0，B0，C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为2:1，则AA0:A0A1=（）A．2:3B．4:3C．3:2D．1:1二、填空题：5、)(lim2nnnn.6、某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是（精确到0.01）.7、设a，b都是正实数，且2a+b=1，设2242baabT则当a=______且b=_______时，T的最大值为_______。8、如图，矩形ABCD中，3DC，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D′点，当D′在平面ABC上的射影落在AE上时，四棱锥D′—ABCE的体积是________；当D′在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D′—AE—B的平面角的余弦值是_________。三、解答题：（过程要完整、表述要规范）9、（本小题满分12分）是否存在常数c，使得不等式yxyyxxcyxyyxx2222对任意正实数x、y恒成立？证明你的结论．10、（本小题满分12分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差.11、（本小题满分14分）已知),2(|2|lg)1()(2Raaaxaxxf（Ⅰ）若)(xf能表示成一个奇函数)(xg和一个偶函数)(xh的和，求)(xg和)(xh的解析式；（Ⅱ）若)(xf和)(xg在区间])1(,(2a上都是减函数，求a的取值范（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较61)1(和f的大小．12、（本小题满分12分）已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：（1）对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）若01x，02x，121xx，则有)()()(2121xfxfxxf。（Ⅰ）试求f(0)的值；（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x。13、（本小题满分16分）在直角坐标平面内，已知两点A（-2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。（Ⅰ）证明|PA|+|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；（Ⅱ）过点B的直线l与曲线T相交于M、N两点，线段MN的中点R与点S（-1，0）的连线的纵截距为t，试求t的取值范围。14、（本小题满分14分）（文科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点)5,3(且方向向量为)5,2(V的直线l通过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，又.2FBAF（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程.（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，－5）且方向向量为)5,2(V的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又MBAM2.（1）求直线l方程；（2）求椭圆C长轴长取值的范围.培优练习（1）答案一、选择题：AABA二、填空题：5．;216．0.74;7．41；21；2122；8．12262；32三、9、（本题满分12分）解：当yx时，由已知不等式得32c……3分下面分两部分给出证明：⑴先证3222yxyyxx，此不等式)2)(2(2)2(3)2(3yxyxyxyyxx222yxxy，此式显然成立；……7分⑵再证3222yxyyxx，此不等式)2)(2(2)2(3)2(3yxyxyxyyxxxyyx222，此式显然成立．……10分综上可知，存在常数32c，是对任意的整数x、y，题中的不等式成立．12分10、（本题满分12分）解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分）则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2:48.08.06.0)()()2(44.08.04.02.06.0)()()()()1(08.02.04.0)()()0()2()7(8.032.04.092.06.06.092.0)1)(1(1)(1)(2222212121的概率分布为分即则BPAPPBPAPBPAPPBPAPPPPPPPPPPPPBAPBAP012P0.080.440.48)12(4.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222分或利用EEDDE11、（本题满分14分）解：（Ⅰ）设)()()(xhxgxf①，其中)(xg是奇函数，)(xh是偶函数，则有)()()()()(xhxgxhxgxf②联立①，②可得xaxg)1()(，|2|lg)(2axxh（直接给出这两个函数也给分）…3分（Ⅱ）函数xaxg)1()(当且仅当01a，即1a时才是减函数，∴1a又4)1(|2|lg)21(|2|lg)1()(222aaaxaxaxxf∴)(xf的递减区间是)21,(a……5分由已知得21)1(2aa∴21)1(12aaa解得123a∴a取值范围是)1,23[……8分（Ⅲ）)123(|2|lg2|2|lg)1(1)1(aaaaaf|2|lg)1(aa和在)1,23[上为增函数……10分∴21lg21|2)23(|lg)223()1(f61101lg312181lg3121∴61)1(f即61)1(大于f.……14分12、（本题满分12分）解：（Ⅰ）令021xx，依条件（3）可得f(0+0)≥f(0)+f(0)，即f(0)≤0。又由条件（1）得f(0)≥0，则f(0)=0……………………3分（Ⅱ）任取1021xx，可知]1,0(12xx则)()(])[()(1121122xfxxfxxxfxf……………5分即0)()()(1212xxfxfxf，故)()(12xfxf于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，…………………7分（Ⅲ）证明：研究①当]1,21(x时，f(x)≤12x②当]21,0(x时，首先，f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴)2(21)(xfxf………………9分显然，当]21,21(2x时，21)1(21)212(21)21()(fffxf成立。假设当]21,21(1kkx时，有kxf21)(成立，其中k＝1，2，…那么当]21,21(12kkx时，111212121)21(21)212(21)21()(kkkkkfffxf可知对于]21,21(1nnx，总有nxf21)(，其中n=1，2，…而对于任意]21,0(x，存在正整数n，使得]21,21(1nnx，此时xxfn221)(……………………11分③当x=0时，f(0)=0≤2x………………12分综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x)≤2x成立。13、（本题满分16分）解：（Ⅰ）连结PB。∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，∴|PB|=|PQ|，又|AQ|=6，∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=6（常数）。…2分又|PA|+|PB||AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a=6，2c=4，∴椭圆方程为15922yx…6分（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，MN的中点为R（2，0）直线RS的纵截距t=0…7分当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，点),(11yxM、),(22yxN、),(RRyxR。由159)2(22yxxky，消去y整理得：0453636)95(2222kxkxk…9分∴59362221kkxx，则5918)2(21221kkxxxR5910)25918()2(222kkkkkxkyRR直线RS的方程为)1(527102xkky。令x=0，可得直线RS的纵截距527102kkt。如果k=0，则t=0；如果k≠0，则kkt52710。∵156||5||27|527|kkkk当且仅当915k时，等号成立。…14分∴9150t或0915t综上可知，所求t的取值范围是]915,915[。…16分14、（本题满分12分）（文）解：（1）直线l过点（3，－5）且方向向量为方程为则lV),5,2()1(25:5523xyyx化简为……………………………………（4分）（2）设直线),(),,(1)1(2522112222yxByxAbyaxxy交于与椭圆，由2122yyBFAF求得……………………………………………………（7分）将中代入222222152bayaxbyx，整理得0)1(54)54(222222abybyab由韦达定理可知：22222221222221254)1(5454yababyyyabbyy（9分）由①2/②知)1)(54(322222aabb……………………………………（12分）又,34,12222baba故可求得因此所求椭圆方程为：13422yx…（14分）（理）解：（1）直线l过点（3，－5）且方向向量为)5,2(V………………①………………②5523yxl方程为化简为：)1(25xy…………（4分）（2）设直线1)1(252222byaxxy和椭圆交于两点A（x1,y1），B（x2,y2），和x轴交于M（1，0）由2122yyMBAM知………………………………………………（7分）将0)1(54)54(152222222222222abybyabbayaxbyx中得代入…………………………………………①由韦达定理知：22222221222221254)1(5454yababyyyabbyy由②2/③知：32b2=（4b2+5a2）（a2－1）…………………………………………（10分）化为22229)1(54aaab………………………………………………④对方程①求判别式，且由△0即0)1()54(4)54(222222ababb化简为：54522ba………………………………………………⑤12分由④式代入⑤可知：,91,59)1(5522222aaaaa求得又椭圆的焦点在x轴上，则,22ba由④知：.3411,31,49)1(5422222aaaaaab求得结合因此所求椭圆长轴