圆锥曲线

学科：数学教学内容：圆锥曲线一、考纲要求1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据所给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的一些实际应用.3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.二、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点0),(0),(002001yxfyxf方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2.圆圆的定义点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.圆的方程(1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D,-2E)，半径是2422FED.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D)2+(y+2E)2=4422FED当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2D,-2E);当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=2020)()(byax.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系②直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22BACBbAa与半径r的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.当0＜e＜1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则(1)kyyhxx或(2)kyyhxx公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴椭圆1)()(2222bkyahx(±c+h,k)x=±ca2+hx=hy=k1)()(2222akybhx(h,±c+k)y=±ca2+kx=hy=k双曲线1)()(2222bkyahx(±c+h,k)y=±ca2+kx=hy=k1)()(2222bkyahx(h,±c+k)y=±ca2+kx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k)x=-2p+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k)x=2p+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h,2p+k)y=-2p+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-2p+k)y=2p+kx=h三、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简.特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.例1如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2＝３，求y/x的最大值.解：此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷.设xy＝k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线y＝kx在第一象限与圆相切，而圆心(2，0)到直线y=kx的距离为3.31022kk，解得k＝3(-3舍去).(二)充要条件说明充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.例2直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交解：把“直线与平面平行”作为甲命题，在四个选项中选出一个是甲命题的充要条件的命题。因为直线与平面平行的定义是直线与平面无交点，而A、B、D三个选项都不能保证此条件，只有C能保证，故选C(三)圆的标准方程和一般方程说明求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.例3圆A：(x+1)2+(y+1)2=1，圆B：(x-1)2+(y-1)2=4，则有两圆的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解：要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程.∵A圆圆心是C1(-1,-1)，B圆圆心是C2(1，1)，∴｜C1C2｜＝22，r1＝1，r2＝2.r1+r2＞｜C1C2｜即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D.(四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法说明天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很有必要的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.例4椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，椭圆的离心率e=23,椭圆各点到直线x-y+5+2=0的最短距离为1，求此椭圆的方程。解因为e=ac=41432322222ababa，所以a=2b.设M(2bcosθ，bsinθ)为椭圆上任一点，则M到直线x-y+5+2＝0的距离为d=225)sin(5225sincos2bbb.而d的最小值为1。2525b＝１，则b＝1，故所求椭圆方程为42x+y2＝1.(五)双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线说明根据已知条件会求双曲线的标准方程，以及双曲线的有关元素.这里与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.例5已知双曲线ctgytgx162422＝1(2＜θ＜π)过点A(43，4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求顶点坐标；(4)求点A的焦半径.解：因为双曲线过点A(43，4)，所以tgtg161624316＝1，tg2θ+tgθ-２＝0，tgθ＝-2，(tgθ=1舍去，因为2＜θ＜π)∴双曲线方程为-84822yx＝1.从而a=22,b=43,c=214.(1)实轴长2a=42，虚轴长2b＝83.(2)离心率e＝ac＝7.(3)顶点为(0，22)，(0，-22).(4)焦点F1(0，-214)，F2(0，214).｜AF1｜＝22)1424()34(＝22(14+1)，｜AF2｜＝22)1424()34(＝22(14-1).(六)抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，抛物线的画法说明这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的关系，以及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax2+bx+c的对称轴平行于y轴(或就是y轴)，双曲线有渐近线，抛物线无渐近线.例6如图，过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程。解(1)设点M的坐标为(m,2m),点N的坐标为(n,-2n)，由已知，OM2+ON2＝MN2，则m2+4m+n2+4n=(m-n)2+(2m+2n)2，mn＝16。直线MN:nmmxnmmy222当y=0时，x=mn＝4所以MN与x轴交点的坐标为(4，0)。(2)又因设弦MN的中点为P(x,y),nmnmynmx2222y2＝m+n-2mn=2x-8故弦MN的中点轨迹为y2=2x-8(七)坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程说明坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一条曲线在不同的坐标中有不同的方程.例7方程x2+4y2+6x-8y+1=0的对称中心是()A.(-3，-1)B.(-3，1)C.(3，-1)D.(3，1)解：将原方程配方后化为3)1(12)3(22yx=1，∴对称中心是(-3，1).故选B.例8求椭圆9x2+4y2-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率及准线方程.解：将原方程配方后化成9)3(4)2(22yx=1.令32yyxx.得到新方程为9422yx＝1.∴a=3,b=2,c=22ba=5.即长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率e＝ac＝531.在新坐标系中，焦点为(0，5)，(0，-5)，准线为y′＝±ca2＝±554由平移公式32yyxx，得在原坐标系中焦点为：(2，5-3)、(2，-5-3)，准线为：y=±554-3.(八)综合例题赏析例9设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A.丙是甲的充分条件，但不是必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解“甲是乙的必要条件”，即“甲乙”，“丙是乙的充分不必要条件”，即“丙乙，且丙乙”。因丙乙甲即丙是甲的充分不必要条件故应选A.例10已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是()A.5B.4C.3D.2解：r=2，圆心(1，0)，a＞0，∴a＝３应选C.例11设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l∶x-2y=0的距离最小的圆的方程解：设所求圆的圆心P(a,b)半径r由题设知，P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜,且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°，故其弦长为2r,有r2=2b2由“圆P截y轴所得弦长为2”有r2=a2+1∴2b2-a2=1P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=52ba,得5d2=｜a-2b｜2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)2b2-a2=1当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1从而d取得最小值由此有1222abba解得11ba或11ba又由r2=2b2,得r2=2.∴所求圆方程是(x-1)2+(y-