高考数学第八章第9讲

第9讲直线与圆锥曲线的位置关系第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)________b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)________a≠0Δ＞0两个________的解________Δ＝0两个相等的解________Δ＜0无实数解________(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．无公共点一个交点不相等两个交点一个交点无交点栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．“点差法”求解弦中点问题的步骤设点—设出弦的两端点坐标↓代入—代入圆锥曲线方程↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于()A.12B.13C.14D．4C解析：由x－y－1＝0，y＝ax2，消去y得ax2－x＋1＝0，所以a≠0，1－4a＝0，解得a＝14.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()A．k＞－baB．k＜baC．k＞ba或k＜－baD．－ba＜k＜baD解析：由双曲线渐近线的几何意义知－ba＜k＜ba.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何3．过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→的值为()A．－12B．－14C．－4D．无法确定B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－12，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由此得x1＋x2＝－k，x1x2＝－12，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1－12kx2－12＝(k2＋1)·x1x2－12k(x1＋x2)＋14＝－12(k2＋1)－12k·(－k)＋14＝－14.故选B.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何4．过点A(1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y2＝2x交于M、N两点，则|MN|＝________．26解析：过A(1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y＝x－1，代入y2＝2x得x2－4x＋1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1·（x1＋x2）2－4x1x2＝2·16－4＝26.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点一直线与圆锥曲线的位置关系在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解](1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得1b2＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由y2＝4x，y＝kx＋m，消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得k＝22，m＝2或k＝－22，m＝－2.所以直线l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(1)当Δ0，即－32m32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点二弦长问题已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解](1)由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)由y＝k（x－1），x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，所以|MN|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝2（1＋k2）（4＋6k2）1＋2k2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，解得k＝±1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．[注意]两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2＋y2b2＝1.化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|，即43＝2|x2－x1|.则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4（1－b2）（1＋b2）2－4（1－2b2）1＋b2＝8b4（1＋b2）2，因为0＜b＜1.所以b＝22.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点三中点弦问题(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解](1)由题意有a2－b2a＝22，4a2＋2b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为x28＋y24＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)证明：设直线l：y＝kx＋b1(k≠0，b1≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b1代入x28＋y24＝1，得(2k2＋1)x2＋4kb1x＋2b21－8＝0.故xM＝x1＋x22＝－2kb12k2＋1，yM＝k·xM＋b1＝b12k2＋1.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－12k，即kOM·k＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．栏目导引知能训练轻松