云师堂-高考数学-2017一轮复习第九章第6讲

第6讲几何概型第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）长度(面积或体积)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．会解三种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．(2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.45B.35C.25D.15B解析：在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝35.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．(2016·九江第一次联考)在区间[0，2π]上任取一个数x，则使得2sinx≥1的概率为()A.16B.14C.13D.23C解析：因为2sinx≥1，x∈[0，2π]，所以x∈π6，5π6，所以所求概率P＝5π6－π62π＝13.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布3．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.4π81B.81－4π81C.127D.827C解析：由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝1333＝127.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布4．(2016·江西省八所中学联考)已知实数a∈[－2，5]，则a∈{x∈R|x2－2x－3≤0}的概率为________．47解析：x2－2x－3≤0⇒－1≤x≤3，故所求概率为P＝3－（－1）5－（－2）＝47.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布5．(必修3P140练习T1改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．1π解析：设圆的半径为R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R，则所求事件的概率为P＝S阴S圆＝12×2R×2RπR2＝1π.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点一与长度有关的几何概型(1)(2015·高考山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log12(x＋12)≤1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14(2)(2016·烟台模拟)在区间－π2，π2上随机取一个数x，则cosx的值介于0到12之间的概率为________．A13栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[解析](1)不等式－1≤log12(x＋12)≤1可化为log122≤log12(x＋12)≤log1212，即12≤x＋12≤2，解得0≤x≤32，故由几何概型的概率公式得P＝32－02－0＝34.(2)当－π2≤x≤π2时，由0≤cosx≤12，得－π2≤x≤－π3或π3≤x≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布本例(2)中，若将“cosx的值介于0到12”改为“cosx的值介于0到32”，则概率如何？解：当－π2≤x≤π2时，由0≤cosx≤32，得－π2≤x≤－π6或π6≤x≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布与长度有关的几何概型的求法解答关于长度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以表示时间的长短等.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1.(1)在区间[－5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}的概率为________．(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)设a∈[0，10]，则函数g(x)＝a－2x在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为________．31015栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布解析：(1)由1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}，得a2－a－2＜0⇒－1＜a＜2，所以所求概率为2－（－1）5－（－5）＝310.(2)因为函数g(x)＝a－2x在区间(0，＋∞)内为增函数，所以a－2＜0，解得a＜2，所以函数g(x)＝a－2x在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为210＝15.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点二与面积有关的几何概型(高频考点)与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下三个命题角度：(1)与平面图形面积有关的几何概型；(2)与线性规划知识交汇命题的几何概型；(3)与定积分交汇命题的几何概型．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(1)(2014·高考辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)(2015·高考福建卷)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝x＋1，x≥0，－12x＋1，x＜0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[解析](1)设质点落在以AB为直径的半圆内为事件E，则P(E)＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.(2)因为f(x)＝x＋1，x≥0，－12x＋1，x0，B点坐标为(1，0)，所以C点坐标为(1，2)，D点坐标为(－2，2)，A点坐标为(－2，0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P＝326＝14.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2.(1)记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}和集合B＝{(x，y)|x＋y－4≤0，x≥0，y≥0}所表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2内的概率为()A.12πB.1πC.14D.π－24πA栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)(2016·山西省第三次四校联考)在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率为________．(3)(2016·贵阳监测考试)若任取x，y∈[0，1]，则点P(x，y)满足y≤x12的概率为________．91623栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布解析：(1)如图所示，集合A所表示的平面区域Ω1的面积为16π，集合B所表示的平面区域Ω2(阴影部分)的面积为12×42＝8，所以点M落在区域Ω2内的概率为816π＝12π，故选A.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)设AB、AC上分别有点D、E满足AD＝34AB且AE＝34AC，则△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝34BC.因为点A到DE的距离等于点A到BC的距离的34，所以DE到BC的距离等于△ABC高的14.当动点P在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，所以当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于S4，所以所求概率为S△ADES△ABC＝342＝916.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(3)如图，因为曲线与坐标轴围成图形的面积S1＝∫10x12dx＝23x3210＝23，所以所求概率P＝S11×1＝23.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点三与体积有关的几何概型(2016·长春第二次调研)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.设AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝2B1F.在长方体ABCD­A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE­D1DCGH内的概率为________．910栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[解析]因为EH∥A1D1，所以EH∥B1C1，所以EH∥平面BCC1B1.过EH的平面与平面BCC1B1交于FG，则EH∥FG，所以易证明几何体A1ABFE­D1DCGH和EB1F­HC1G分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P＝1－V三棱柱V长方体＝1－S△EB1FS矩形ABB1A1＝1－12×55a×255a2a2＝910.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第